Considere una $\triangle ABC$ con $\angle A=15^{\circ}, \angle B=55^{\circ}, \angle C=110^{\circ}$ .
Demostrar que $c^2=ab+b^2$ .
Esto es de mi profesor de matemáticas. Lo resolví en 10 minutos con trigonometría, no es tan difícil. Mi pregunta es: ¿es posible demostrarlo sin trigonometría? ¡Por favor, ayuda! ¡Agradezco todas las soluciones!
Dejemos que $D$ sea el punto donde la bisectriz del ángulo $C$ golpea el lado $AB$ .
Entonces obtenemos
por lo que $\Delta BDC$ es isósceles, con $|DB|=|DC|$ y $\Delta ABC$ es similar a $\Delta ACD$ .
El factor para escalar las longitudes laterales de $\Delta ABC$ a las correspondientes longitudes de los lados de $\Delta ACD$ es $$\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{b}{c}$$ por lo tanto, obtenemos \begin{align*} |DC|&=\left(\frac{b}{c}\right)a\\[4pt] |AD|&=\left(\frac{b}{c}\right)b\\[4pt] \end{align*} Pero también \begin{align*} |AD|&=c-|DB|\\[4pt] &=c-|DC|\\[4pt] &=c-\left(\frac{b}{c}\right)a\\[4pt] \end{align*} así que \begin{align*} &c-\left(\frac{b}{c}\right)a=\left(\frac{b}{c}\right)b\\[4pt] \implies\;&c^2-ab=b^2\\[4pt] \implies\;&c^2=ab+b^2 \end{align*}
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Bueno, cada vez que tratas con triángulos, estás haciendo trigonometría, tanto si se expresa explícitamente como si no. Así que lo que pides es imposible, estrictamente hablando. Sin embargo, se pueden relacionar varias propiedades del triángulo para resolver este problema sin mencionar directamente las relaciones trigonométricas tal y como las conocemos.
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Es decir, tiene que demostrar que $ c^2=a^2+b^2-2ab \cos C = ab+b^2 ; i.e., a/b = \sin 15^{\circ}/ \sin 55^{\circ}= 1- 2 \cos 70 ^{\circ}$ ¿Puede ir más allá?