Es obvio que si $\vec{X} = (X_1,X_2\cdots,X_n)^T$ son independientes de las variables aleatorias y sus marginal de la función característica conjunta y la función característica existe, entonces ellos están relacionados por $$ Ee^{i\sum_{j=1}^n t_ix_i} = \prod_{j = 1}^n E E^{i t_i x_i}, $$ pero es a la inversa verdad? Es decir, si existe una factorización, entonces las variables son independientes? Mis profesores lo dice, pero no puedo encontrar la prueba de la misma, ni en mi literatura o en línea. es esto cierto? Es cierto para el normal r.v.? Si es cierto, puede proporcionar una referencia o prueba?
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AreaMan
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Trate de computación cuál es la función característica del producto de independiente marginales (es decir, si tratamos a los $x_i$ en su fórmula como independiente de las variables aleatorias). Usted conseguirá que se divide como un producto de la misma manera. A continuación, utilice el teorema de que la función característica identifica a la densidad.
(La característica de la función es la misma que la transformada de Fourier, así que usted puede encontrar que es más fácil encontrar una instrucción como: si dos distribuciones de probabilidad tienen la misma transformada de Fourier, son iguales. Este es también probado en algún lugar en Durret.)
