¿Qué prueba puede utilizarse para mostrar $\sum \dfrac{n!}{n^n}$ converge?

Question

¿Convergen $\sum \dfrac{n!}{n^n}$? Intuitivamente creo que converge, pero no estoy seguro de lo que puede utilizarse para demostrar que.

Answer 1

$$ \left|\frac {a_ {n+1}} \right|=\frac {a_n} {(n+1)! \cdot n ^ n} {(n+1) ^ {n+1} \cdot n!} = \frac {n ^ n} {(n+1) ^ n} = \frac1 {\left (1 + \frac1n\right) ^ n} \to\frac1e$$

Comentario: Mientras que $\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac1n\right)^n$ a menudo se utiliza como definición de $e$, ni siquiera necesita convergencia aquí. Basta para tener $\left(1+\frac1n\right)^n\ge 2$ (para $n\ge 1$), que sigue de la desigualdad de Bernoulli o simplemente de los dos primeros sumandos marcas de verificación de la expansión binomial.

Answer 2

Si no sabes stirlings fórmula, por la desigualdad de la aritmética y geométrico significa que tenemos, $$(\prod_{k=1}^n k)^{\frac{1}{n}}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k=\frac{n+1}{2}$ $ $$\text{ So we have}$ $ $$(n!)^\frac{1}{n}\leq\frac{n+1}{2}$ $ $$\frac{n!}{(n+1)^n}\leq\frac{1}{2^n}$ $ $$\frac{(n+1)!}{(n+1)^n}\leq\frac{(n+1)}{2^n}$ $ $$\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)!}{(n+1)^n}\leq\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)}{2^n}=4$ $ así, $\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)!}{(n+1)^n}$, converge

Answer 3