Encontrar una coloración de un octaedro tal que el estabilizador sea$S_3$,$V_4$ o$A_4$

Question

Estoy un poco jugando con la simetría octaédrica, e inspirado por otro ejercicio que hice en la búsqueda de configuraciones de el cubo tal que el estabilizador es igual a un determinado grupo, he intentado hacer lo mismo para un octaedro. Me consideran dos formas de 'color' el octaedro. La primera es el uso de la coloración de cada cara de color negro o blanco (los colores no tienen que ser utilizados con la misma frecuencia), el segundo es para dibujar en cada cara una flecha que apunta hacia uno de los tres vértices adyacentes.

EDIT 2: Mi trabajo en la coloración de la octaedro con estabilizador $S_3$ era incorrecta, como se ha señalado por Clément Guérin. Por lo tanto, he eliminado esta. También he pensado lo siguiente. Si permitimos que todas las rotaciones que dejan una media de dos-frente-a los que se enfrenta la conexión de línea fija (es decir, el estabilizador es $S_3$), esto significa que podríamos color un par de caras opuestas de color negro, y el resto de la $6$ rostros blancos, para conseguir ese $S_3$ es el estabilizador de esta coloración. Para mí, esto parece correcto, y tal vez alguien puede verificar esto. Si es así, encontramos las coloraciones con estabilizador $S_3$, $V_4$, $A_4$ y $C_4$. Del mismo modo yo conjetura de que la coloración de un octaedro con todos, pero dos caras blanco, y el negro dos caras están en la parte inferior de la octaedro, y no adyacentes, habría estabilizador $C_2$.

Si esto es correcto, la pregunta es completamente contestado por el caso de una coloración. Tal vez alguien que también sabe cómo lidiar con la flecha configuraciones de entonces, y yo también pienso acerca de esto.

EDITAR Como Steven Stadnicki señaló un 'patrón de tablero de ajedrez de la coloración (es decir, pinta la cara de negro y cada cara adyacente con el otro color, a continuación, los vecinos) el estabilizador es $A_4$ hecho! He pintado la impresión de abajo.

Pregunta: yo Estoy en lo correcto en mis reclamos? $A_4$ fue resuelto por Steven Stadnicki, $V_4$ $C_4$ por Clément Guérin, y siguiendo los pensamientos de Clément Guérin tengo una hipótesis en $C_2$$S_3$. La flecha configuraciones todavía no están claras para mí.

Si usted encuentra una configuración tal que el estabilizador es isomorfo a $A_4$, $V_4$ o $S_3$, me sería más útil si se dibuja de manera explícita en una impresión o un octaedro.

Espero que me hizo mi pregunta clara, porque de verdad estoy en duda acerca de mi trabajo y de mi la visualización espacial capacidad no es fuerte.

Answer 1

A fin de dirigir isometría del octaedro, ha $7$ el color de las caras del octaedro. Basta ahora para calcular el estabilizador de cada uno de estos colorantes. Deje $S_i$ ser el estabilizador de la $i$-th para colorear.

• Deje $s$$S_1$, entonces claramente el vértice en la parte inferior debe ser corregido por $s$. De esto podemos ver directamente que $S_1$ debe ser isomorfo a $\mathbb{Z}/4$.

• El segundo es el grupo de Klein. Tiene uno de los ejes de $\pi$ rotación que va desde el punto medio de la extrema izquierda, de un borde al otro, otro $\pi$ eje de $\pi$ rotación que va desde el punto medio de la extrema derecha borde de la frente a uno y un eje de $\pi$ rotación que va desde el frente de vértice a la de enfrente.

• El tercero es el tablero de ajedrez para colorear y tiene un estabilizador de isomorfo a $A_4$.

• Para el cuarto, $S_4$ tiene que ser trivial (el vértice en la parte inferior que necesita ser arreglado)

• Para el quinto, $S_4$ tiene que ser trivial (el vértice en la parte inferior que necesita ser arreglado)

• Para el sexto, $S_6$ tiene que ser trivial (el vértice en la parte inferior que necesita ser arreglado)

• Para el séptimo, $S_7$ tiene que ser trivial (el vértice en la parte inferior que necesita ser arreglado)

Comentario, yo creo que el color que usted reclama ha $Sym_3$ como estabilizador es el cuarto, porque ambos tienen una cadena de tres conectado el rostro negro y uno aislado de la cara negra. En esta imagen parece claro que la misma no tiene simetría.

Edit: el uso de Polya la fórmula, hasta isometría directa $1$, $1$, $3$, $3$, $7$ los colorantes con $(n_w,n_b)=(8,0),(7,1),(6,2),(5,3),(4,4)$respectivamente, donde $n_w$ (resp. $n_b$) es el número de blanco (resp. en azul) caras. A continuación se presentan los diferentes colorantes

Los respectivos estabilizadores son $Sym_4$, $\mathbb{Z}/3$, $\mathbb{Z}/2$, el grupo de Klein (Edit2: esto es incorrecto, en realidad, es $Sym_3$), $\mathbb{Z}/2$, trivial grupo, trivial grupo y $\mathbb{Z}/3$.

Answer 2

El 'principal' caso, para la coloración del octaedro con dos colores está completamente cubierto por Clément Guérins respuesta, y esto produce coloraciones con estabilizadores $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $V_4$, $S_3$, $A_4$ y $S_4$. Así que para todos los posibles subgrupos de $S_4$, sólo no he visto a $D_4$ aquí (?).

En esta respuesta, en aras de la exhaustividad, también voy a publicar mi solución para la flecha configuraciones. Ya que soy el autor de la pregunta de esta pregunta, no estoy $100\%$ seguro de si esta solución es correcta. Si usted piensa que hay un error, por favor hágamelo saber.

Tenga en cuenta que una 'flecha de configuración' es una forma de color el octaedro de tal manera que podamos dibujar en cada cara exactamente una flecha apuntando hacia uno de los tres vértices adyacentes.

Así que para todos los posibles subgrupos de $S_4$: $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $V_4$, $S_3$, $D_4$, $A_4$ y $S_4$, la primera vez que mostrar que no puede ser una flecha de configuración con un estabilizador que tiene una orden divisible por $3$. Supongo a que, al contrario, nos encontramos con una configuración de ese tipo. Por Cauchy teorema, ahora hay una rotación de orden $3$ que se asigna el color octaedro sobre sí mismo. Desde $\gcd(3,8)=1$, $8$ el número de caras, hay (al menos dos) se enfrenta a los que se asignan a sí mismos. Tal cara es un triángulo equilátero con una flecha (sin pérdida de generalidad) hacia la parte superior del triángulo. Después de la rotación $120^{\circ}$ se asigna a sí mismo; pero ahora los puntos de flecha a la izquierda o a la derecha, una contradicción. De modo que el orden de la estabilizador no es divisible por $3$. Así que, para cualquier configuración, el estabilizador debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: $C_1$, $C_2$, $C_4$, $V_4$ o $D_4$.

Una configuración tal que el estabilizador es trivial, es muy fácil de encontrar. Voy a dar ejemplos de configuraciones tales que el estabilizador es $C_2$, $C_4$, y $D_4$. Las flechas negras están en las caras se puede ver desde la perspectiva dada; los grises en las caras que no puede. Estas configuraciones con sus estabilizadores se muestra a continuación.

Para dar una explicación: debido a las razones arriba mencionadas el estabilizador de cualquiera de los colorantes a continuación debe ser isomorfo a uno de los grupos $C_1$, $C_2$, $C_4$, $V_4$ o $D_4$. La primera es sólo fija por una rotación de más de $180^{\circ}$ a través de la línea a través de la parte superior e inferior de los vértices. La segunda es claramente fijado por el (la generada grupo de) una rotación de orden $4$ a través de la línea a través de la parte superior e inferior de los vértices, pero no por cualquier otro de rotación. La tercera es claramente fijado por la rotación con el fin de $4$ a través de la línea a través de la parte superior e inferior de los vértices, pero también por una rotación de más de $180^{\circ}$ a través de la línea a través de la izquierda y la derecha vértices. Dicen que esta es la configuración de $C$. Desde $|\mathrm{Stab}(C)|>4$, $\mathrm{Stab}(C)\neq C_1,C_2,C_4,V_4$, por lo tanto $\mathrm{Stab}(C)=D_4$.

No parece haber una configuración para que el estabilizador es $V_4$. He comprobado el caso de una configuración en la que solo se fija por $180^{\circ}$ frente vértices de rotación, por lo que para $V_4=\{\mathrm{Id},(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$. No estoy seguro sobre el caso en el que establecería $V_4=\{\mathrm{Id},(12)(34),(12),(34)\}$.