Derivación rigurosa de la relación energía-momento relativista

Question

Deseo derivar la relación relativista energía-momento $E^2 = p^2c^2 + m^2 c^4$ siguiente pasos matemáticos rigurosos y sin recurrir a la masa relativista .

En una dimensión espacial, dada $p := m \gamma(u) u$ con $\gamma(u) := (1 - \frac{|u|^2}{c^2})^{-1/2}$ la energía vendría dada por

$$E = \int{ \frac{d}{dt}p \space dx}$$

Me está costando mucho esta integración.

¿Cómo es la relación $E^2 = p^2c^2 + m^2 c^4$ ¿se deriva rigurosamente a partir del momento relativista, sin recurrir a la masa relativista?

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Para dar una idea del rigor que espero en una respuesta, en ejemplo, una respuesta que aceptaría para la derivación de $ E = \frac{1}{2} m v^2$ en la mecánica clásica habría sido la siguiente:

Buscamos integrar la forma diferencial $F \space dx$ . Parametrización $x$ por $t$ obtenemos $dx = \frac{d}{dt} x \space dt$ .

La integral de interés es $\int F \space dx = m \int \frac{d^2}{dt^2}x \space dx = m \int (\frac{d^2}{dt^2}x) (\frac{d}{dt} x) dt$ después de cambiar las variables.

Reconocemos el integrando como $\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \left(\frac{d}{dt}x \right)^2 \right) $ , por lo que el resultado $E = \frac{1}{2} m v^2$ se deduce del teorema fundamental del cálculo.

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De nuevo, como ejemplo, una derivación de $E = \frac{1}{2} m v^2$ Me gustaría definitivamente no aceptar sería la siguiente:

$ \int F \space dx = m \int a \space dx = m \int \frac{dv}{dt} \space dx = m \int dv \frac{dx}{dt} $ = $ m \int v \space dv = \frac{1}{2}m v^2$ .

Por favor, realice únicamente manipulaciones matemáticas rigurosas.

Answer 1

Desde $P = Fv$ tenemos $$\frac{dE}{dt} = \frac{dp}{dt} v$$ por la segunda ley de Newton. Integrando ambos lados con respecto a $t$ da $$\int \frac{dE}{dt} \, dt = \int v \frac{dp}{dt} \, dt = \int v \, dp$$ por la regla de la cadena, también conocida como ordinaria $u$ -sustitución. Tenemos $$p = \gamma m v = \frac{m v}{\sqrt{1-v^2}} \quad \Rightarrow \quad dp = \frac{m \, dv}{(1-v^2)^{3/2}}$$ en el que puse $c = 1$ por conveniencia y usamos la regla del cociente. Integrando con las velocidades inicial y final cero y $v_0$ da $$E(v_0) - E(0) = \int_0^{v_0} \frac{mv}{(1-v^2)^{3/2}} \, dv = \frac{m}{\sqrt{1 - v_0^2}} - m.$$ En este punto no podemos seguir adelante ya que no conocemos la constante de integración. Se puede demostrar mediante argumentos físicos que $E(0) = m$ . Así, $$E(v) = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}$$ como se desee. No es una derivación difícil, pero tienes razón: muchos libros de texto la estropean.

Answer 2

Para completar, he aquí una formulación posiblemente más limpia y sencilla de la respuesta de @knzhou:

Obtenemos

$$E = \int_{0}^{x_0} (\frac{d}{dt} p) \space dx = \int_{0}^{t_0} (\frac{d}{dt} p) \space v \space dt = \int_{0}^{p_0} v \space dp = \int_{0}^{v_0} v \space (\frac{d}{dv} p) \space dv$$

aplicando una secuencia de reparametrizaciones $dx = v \space dt$ , $dp = (\frac{d}{dt} p) \space dt$ y $dp = (\frac{d}{dv} p) \space dv$ a la integral para $E$ . Desde $ \frac{d}{dv} p = m \space (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-3/2}$ se deduce que

$$ E = \int_{0}^{v} \dfrac{m v}{(1-\frac{v^2}{c^2})^{3/2}} dv = \frac{mc^2}{(1 - \frac{v^2}{c^2})^{1/2}} - mc^2.$$

Definición de la energía total $\Sigma = E + mc^2$ ya que $\Sigma = \gamma m c^2$ y $p = \gamma m v$ es fácil ver por cálculo directo que $\Sigma^2 - c^2 p^2 = m^2 c^4$ Por lo tanto

$$\Sigma^2 = m^2 c^4 + c^2 p^2 \space .$$

Answer 3

Quiero elaborar un poco inspirado por el comentario hecho por AccidentalFourierTransform y cómo se relaciona con la respuesta de knzouh. Se parte de la cuatro velocidades

$$ u = \gamma~( c, \mathbf{v}), $$

en la que basas tu definición del cuatro-momento como

$$ p = m_0\gamma~( c, \mathbf{v}) = ( m_0\gamma c,m_0\gamma \mathbf{v}) = ( m_0\gamma c,m_0\gamma \mathbf{v}) . $$

Algo que se sabe de la cuatro-velocidad es, que siempre es cuadrados a $u^\mu u_\mu=\gamma^2 (c^2-v^2) = c^2$ de lo que se concluye inmediatamente que $p^\mu p_\mu = m_0 c^2$ representando así un escalar de Lorentz. Por otro lado, si se reconoce $ m_0\gamma c^2$ como la energía $E$ y el término $m_0\gamma \mathbf{v}$ como el momentom $\mathbf{p}$ esto también puede escribirse como $p^\mu p_\mu = E^2 /c^2 - \mathbf{p}^2$ lo que conduce a la fórmula deseada

$$ E^2 /c^2 - \mathbf{p}^2 = m_0c^2 . $$

Para que este argumento funcione tenemos que justificar por qué interpretamos $p^0$ como la energía. Una posible forma de proceder es la acción relativista $S$ de una partícula libre y definir $E=- \partial_t S$ y $\vec{p} = \nabla_\mathbf{x} S$ como se indica, por ejemplo aquí .