El hecho de que todos los $\beta$-funciones de desaparecer en una teoría es equivalente a la afirmación de que la energía-impulso tensor es traceless por el operador identidad
$$
T^\mu_\mu(x) = \sum_\mathcal{S} \beta_\mathcal{S} \mathcal{S}(x) = 0.
$$
Esta vez es suficiente para concluir que la teoría es de conformación: el cargo
$$
K^\mu \equiv \int d\Sigma_\nu \left( 2 x^\mu x_\rho T^{\nu\rho} - x^2 T^{\mu\nu} \right)
$$
asociados con la especial conformación de las transformaciones se conserva.
En $\mathcal{N} = 4$ super de Yang-Mills, todos los $\beta$-funciones de desaparecer, y por lo tanto la carga en $K^\mu$ se conserva y la teoría de conformación.
En una teoría que es la escala invariante, pero no de conformación, no todos los $\beta$-función de desaparecer: hay un operador en particular (o una combinación lineal de los operadores) que es la divergencia de la corriente de la $V^\mu$ (llamado el
"virial" actual) y cuyas $\beta$-función no es cero:
$$
T^\mu_\mu(x) = \partial_\mu V^\mu(x) \neq 0.
$$
Se puede comprobar que la carga de la $D$ asociado con la escala de las transformaciones,
$$
D \equiv \int d\Sigma_\nu x_\mu T^{\mu\nu}
$$
se conserva en este caso, lo que significa que la teoría es la escala invariante. Sin embargo, la carga de la $K^\mu$ no se conserva: la teoría no es de conformación.
La otra posibilidad para una teoría de la escala invariante, pero no de conformación es no tener energía-impulso del tensor. En este caso, la construcción de la acusación $K^\mu$ falla desde el principio. Pero sabemos que $\mathcal{N} = 4$ super de Yang-Mills tiene una energía-impulso del tensor, ya que podemos construir de manera explícita desde el Lagrangiano.
