Arranque elíptico para transformaciones de calibre

Question

Estoy leyendo el libro de John Morgan "Ecuaciones de Seiberg-Witten y aplicaciones a la topología de variedades suaves". Estoy atascado en la prueba del Lema 4.5.3, que dice lo siguiente. Supongamos que $(a_n,\psi_n)$ y $(b_n,\mu_n)$ son secuencias de $W^{2,2}$ (conexión, espín) en una variedad cerrada de dimensión $4$ que convergen en $W^{2,2}$ a $(a,\psi)$ y $(b,\mu)$ respectivamente. Si $\sigma_n$ es una secuencia de transformaciones de gauge de $W^{3,2}$ tal que $(a_n,\psi_n)\cdot \sigma_n = (b_n,\mu_n)$, entonces existe una subsecuencia de los $\sigma_n$ que converge en $W^{3,2}$ a un elemento $\sigma$ del grupo de gauge.

La prueba comienza de la siguiente manera. Definimos $\tau_n = \det(\sigma_n)$, y observamos que tenemos $d\tau_n = \tau_n(b_n-a_n)$. Tenemos (obviamente) una cota uniforme en $\|\tau_n\|_{L^6}$, que utilizando la multiplicación $L^6\otimes W^{2,2}\to L^5$ nos da una cota uniforme en $\|\tau_n\|_{W^{1,5}}$. Siguiendo esta estrategia una vez más, podemos mostrar (utilizando inclusiones de Sobolev) que hay una cota uniforme en $\|\tau_n\|_{W^{2,4}}$. Después de esto, se afirma que podemos iterar este argumento una vez más para obtener una cota uniforme en $\|\tau_n\|_{W^{3,3}}.

Es en este paso donde tengo problemas. Mi entendimiento es que necesitamos usar una multiplicación acotada $W^{2,4}\otimes W^{2,2}\to W^{2,3}$ para llevar a cabo este paso. Pero sospecho que esto no es cierto ya que $W^{2,2}$ no se incluye en $W^{2,3}$ (ya que este último se incluye en $L^\infty$). ¿Me estoy perdiendo algo?

¿Alguien puede decirme dónde está mi error, o cómo obtener la cota $W^{3,3}$ en $\tau_n$? Una vez que se complete este paso, el resto de la prueba parece correcto para mí.

Answer 1

Estoy de acuerdo en que no se puede obtener un límite en $W^{3,3}$ por la razón que das: que la multiplicación no existe (ciertamente $1 \in W^{2,4}$, entonces $1 \otimes W^{2,2} \to W^{2,3}$ sería la identidad, pero como dices $W^{2,2}$ no está contenido en $W^{2,3}$). No tengo disponible una copia del libro de Morgan, pero si tuvieras un límite en $W^{3,3}$ supongo que desearías concluir usando la compacidad de la inclusión $W^{3,3} \hookrightarrow W^{3,2}$. Intenté por un rato pero no veo cómo arreglar este argumento.

Freed-Uhlenbeck demuestran el mismo teorema para conexiones en un fibrado principal $G$ y conexiones en $W^{\ell, 2}$, $\ell \geq 2$ como su A.5 en "Instantones and Four-Manifolds". Solo utilizan la conclusión de que $\|\tau_n\|_{W^{3,2}}$ está uniformemente acotado, lo cual detallas en la prueba de tu respuesta (después de todo, hay un producto $W^{2,4} \otimes W^{2,2} \to W^{2,2}$).

Concluyen notando que la compacidad de las inclusiones implica que una subserie $\tau_n'$ converge por ejemplo en $W^{2,3}$; luego utilizando la multiplicación de Sobolev $W^{2,3} \otimes W^{2,2} \to W^{2,2}$ ves utilizando tu ecuación que $d\tau_n'$ converge en $W^{2,2}$. Esto es suficiente para concluir que $\tau_n'$ converge en $W^{3,2}$, como se deseaba.