Encuentre $n$ donde $n^n$ tiene $n$ dígitos

Question

Encontrar n $\in \mathbb{N}$ si $n^n$ tiene $n$ dígitos. Un problema con el que me he topado hoy y que me ha parecido interesante.

Lo sé. $1$ , $8$ y $9$ son las soluciones (obvias), pero ¿son las únicas? Si lo son, ¿cómo puedes demostrarlo?

Gracias de antemano.

EDITAR: Sí, estaba mirando los números naturales, mi error, creo que fue una especie de error tipográfico.

Answer 1

El número de dígitos de $m$ es $1+\lfloor\log_{10} m\rfloor$ .

Así que el número de dígitos de $n^n$ es $1+\lfloor n\log_{10} n\rfloor$ .

Si $log_{10} n \geq 1$ entonces $n log_{10} n\geq n$ por lo que el número de dígitos de $n^n$ es siempre al menos uno más que $n$ . Así que no hay tales valores $n>9$ .

Answer 2

Bueno, en realidad estás viendo elementos de los números naturales, no de los reales, a menos que tengas una definición significativa de tener un número no entero de dígitos. (La pregunta ha sido editada para abordar esto.) Aunque no es una prueba formal ni mucho menos, puedes mirar rápidamente los números naturales en el rango 10-20 y ver que el número de dígitos aumenta más rápido que n, por lo que las soluciones 1, 8 y 9 son las únicas.

Answer 3

Una pista:

$$\text{Number of digits in $ k $}=\lfloor \log k \rfloor+1$$

Ahora, usa $k=n^n$ en la fórmula anterior y recuerda que quieres explícitamente $LHS$ para ser $n$ deberías conseguirlo:

$$\lfloor n \log n\rfloor+1=n$$

Tenga en cuenta que puede querer utilizar $\log a^b=b \log a$ ...

Answer 4

La idea principal aquí es mostrar que hay muy pocas posibilidades. Está claro (de varias maneras) que el número de dígitos en $n^n$ crece más rápido que $n$ . Por lo tanto, para resolver su problema, todo lo que tiene que hacer es seguir comprobando $1, 2, 3, \cdots$ hasta llegar al punto en el que está claro $n$ ya no puede alcanzar el número de dígitos en $n^n$ .

En $n=10$ , $10^{10}$ tiene 11 dígitos. Pasado este punto, cada vez que aumente $n$ por 1, se añade al menos un dígito más a $n^n$ Así que esto es todo lo que tienes que comprobar.

Realmente, la principal dificultad aquí no es pensar demasiado el problema; es fácil pasar por alto las soluciones fáciles si se está demasiado ocupado buscando las difíciles.