Demostrar que el conjunto de todos los subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ es incontable.

Question

Para este problema, mi prueba fue: Si queremos expresar el conjunto de todos los subconjuntos finitos, $F$. $F = \{\{n_{1}\},\{n_{1},n_{2}\},\{n_{1},n_{2},n_{3}\},\cdots\}$ con $n_{1} \in \mathbb{N}$, $n_{2} \in \mathbb{N} - \{n_{1}\}$, $n_{3} \in \mathbb{N} - \{n_{1},n_{2}\}$. Observe que el primer elemento de la $F$ por encima viene con el único elemento $\in \mathbb{N}$, el segundo elemento de $F$ viene con sólo dos elementos $\in \mathbb{N} \cdots$. Hay countably número infinito de que el primer elemento de $F$, y countably número infinito de que el segundo elemento de $F$(desde countably infinito $\times$ countably infinito da countably infinito). Entonces la cardinalidad de a $F$ es la suma de un número finito de countably infinito, que es countably infinito. Por lo tanto, podemos concluir que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ es un countably conjunto finito.

Sin embargo, me di cuenta de que la prueba anterior, aunque tengo la idea pero es muy informal y en realidad hizo uso de los P&C. Ahora creo que es posible hacer una prueba con la asignación: Por ejemplo: $\{n_{1},n_{2}\} \hookrightarrow (n_{1},n_{2}) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$. Sin embargo, he encontrado que es difícil decirlo en este enfoque. Espero alguno me pueda ayudar a mejorar mi prueba. Gracias!

Answer 1

Sugerencia: muestre que el conjunto de subconjuntos finitos es contable, para ver esto, considere$S(n)$ el conjunto de subconjuntos de longitud$n$, es contable, por lo tanto$\cup_{n\in N}S(n)$ es contable. esto implica que se complementa con la misma cardinalidad que$P(N)$ el conjunto de subconjuntos de$N$ que no se puede contabilizar.

Answer 2

Dejar $F:=\{ A\subseteq \mathbb{N} : \vert A \vert < \infty \}$. Para$a\in \mathbb{N}$ denotar por$\pi(a)$ el enésimo número primo. Entonces considera el siguiente mapa

ps

Uno comprueba fácilmente que$$ \phi: F \rightarrow \mathbb{N}, \ \phi(A):= \prod_{a\in A} \pi(a).$ es inyectiva y, por lo tanto,$\phi$ es contable.