¿Hay una explicación geométrica para ¿por qué una esfera tiene un área superficial $4 \pi r^2$?
Es decir igual a 4 veces la sección transversal (un círculo de radio r).
Respuestas
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Deje $Z$ ser un cilindro de altura $2r$ tocar la esfera $S_r$ a lo largo de la línea ecuatorial $\theta=0$. Considere ahora una placa delgada ortogonal a la $z$-eje tener un espesor de $\Delta z\ll r$. Se cruza $S_r$ a una cierta latitud geográfica $\theta$ en un no plana anillo de radio a $\rho= r\cos\theta$ y la anchura $\Delta s=\Delta z/\cos\theta$, y se cruza $Z$ en un cilindro de altura $\Delta z$. Estos dos "anillos" tienen la misma área $2\pi r \Delta z$. Como esto es cierto para cualquier placa de ello se deduce que el área total de la esfera $S_r$ es el mismo que el área total de $Z$, es decir,$4\pi r^2$.
Flatlineato
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Una explicación geométrica es que $4\pi r^2$ es el derivado de $\frac{4}{3}\pi r^3$, el volumen de la bola con radio $r$, con respecto a los $r$. Esto es porque si usted ampliar $r$ poco a poco, el volumen de la bola cambiará su superficie veces la pequeña ampliación de $r$.
¿Por qué es el volumen de la bola llena $\frac{4}{3}\pi r^3$? Por cortar el balón en los discos, usando a Pitágoras, usted consigue que su volumen es de $$ \int_{-r}^r \pi (r ^ 2-x ^ 2) \mathrm {d} x $$ que es $\frac{4}{3}\pi r^3$.
palehorse
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