$a(x)$ , $b(x) \in \mathbb{C}(x)$ y $b(x)^2 = a(x)^3 + 1$ implica $a(x)$ , $b(x)$ ¿constante?

Question

Si $a(x)$ , $b(x) \in \mathbb{C}(x)$ y $b(x)^2 = a(x)^3 + 1$ entonces, ¿se deduce necesariamente que $a(x)$ y $b(x)$ son constantes?

Editar. Para aclarar, $\mathbb{C}(x)$ es el campo de las funciones racionales en $x$ cuyos coeficientes están en $\mathbb{C}$ .

Answer 1

La curva $C$ dado por $y^2=x^3+1$ es un subconjunto abierto afín de la curva elíptica $y^2z=x^3+z^3$ .
Una curva elíptica tiene género uno y no es racional, por lo que $C$ tampoco es racional y, por tanto, no puede ser parametrizada por funciones racionales $a(x), b(x)$ .