dé un ejemplo de números algebraicos$\alpha, \beta$ de modo que ...

Question

La pregunta es encontrar los números algebraicos$\alpha, \beta$ de manera que:

ps

No es tan difícil encontrar números algebraicos$$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]>[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]>[\mathbb{Q}(\alpha\beta):\mathbb{Q}]$ tales que:$\alpha, \beta$ $

pero la última relación$$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]>[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]$ $ se altera todo el tiempo ...

Por favor, dame una pista para que aclare esto.

Gracias :)

Answer 1

Sugerencia : Pruebe productos de$n^\text{th}$ roots of$2$ para diferentes valores de$n$.

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Como ya se publicó una solución, esto es lo que tenía en mente:

Poner $\alpha = 2^{1/4} 2^{1/3} 2^{1/2}$. $\beta = 2^{2/3} 2^{1/2}$. Entonces $\alpha \beta = 4 \cdot 2^{1/4}$.

Answer 2

Qué tal si $\alpha=\sqrt[6]{2}$, $\beta=\sqrt[3]{2}$. Entonces$\alpha\beta=\sqrt{2}$, es decir

ps

Answer 3

Uno puede argumento de esta manera. Supongamos que podemos encontrar algunos de $\alpha$ con las siguientes propiedades:

1) $[\mathbb Q(\alpha)\colon \mathbb Q]=n$ y hay algunos prime $p$ tal que $p(p+1)\mid n$.

2) El polinomio mínimo $m(x)$ $\alpha$ es de la forma $f(x^{p(p+1)})$ algunos $f(x)\in \mathbb Z[x]$.

A continuación,$[\mathbb Q(\alpha^p)\colon \mathbb Q]=n/p$. De hecho claramente $[\mathbb Q(\alpha^p)\colon\mathbb Q]$ al menos $n/p$, pero también se $\alpha^p$ es una raíz de $f(x^{p+1})$ a que grado $n/p$, y así es el polinomio mínimo de a $\alpha^p$. De la misma manera, se verifica que $[\mathbb Q(\alpha^{p+1})\colon \mathbb Q]=n/(p+1)$ y desde $\alpha^{p+1}=\alpha\cdot\alpha^p$ su ejemplo se encuentra desde $n>n/p>n/(p+1)$.

Esto le permite construir un montón de ejemplos. Elija su favorito $n$ dividido por $p(p+1)$ para algunos prime $p$, luego de tomar cualquier polinomio irreducible $m(x)\in \mathbb Z[x]$ grado $n$ de la forma $f(x^{p(p+1)})$ algunos $f(x)\in \mathbb Z[x]$. Entonces cualquier raíz de $\alpha$ $m$ que hace el trabajo. Para la construcción de $m(x)$ se puede simplemente usar el criterio de Eisenstein.

Para dar una "explícita" ejemplo supongamos que usted elija $n=24=(3\cdot 4)\cdot 2$, por lo que el $p=3$. Ahora fijar su favorito primer número $q$ y establezca $m(x)=x^{24}+qx^{12}+q$. Este polinomio es irreducible por el criterio de Eisenstein y es de la forma $f(x^{12})$ donde $f(x)=x^2+qx+q$. Si $\alpha$ es una raíz de $m$, luego $[\mathbb Q(\alpha)\colon \mathbb Q]=24$, $[\mathbb Q(\alpha^3)\colon \mathbb Q]=8$ debido a $x^8+qx^4+q$ es el polinomio mínimo de a $\alpha^3$ $[\mathbb Q(\alpha^4)\colon \mathbb Q]=6$ debido a que el polinomio mínimo de a$\alpha^4$$x^6+qx^3+q$. Por lo tanto, $\alpha$ $\beta=\alpha^3$ hacer el trabajo.