Prueba de comprensión de la totalidad de $L^{\infty}$

Question

Estoy leyendo la página número 4 de aquí. En particular, la sección donde se aborda el caso de $p=\infty$, es decir , mostrando que $L^{\infty}$ es completa.

http://www.core.org.cn/NR/rdonlyres/Mathematics/18-125Fall2003/5E3917E2-C212-463B-9EDB-671486133388/0/18125_lec15.pdf

Dos preguntas:

1) ¿por Qué es la convergencia uniforme? donde dice "para $x \in N^{c}$ , $f_{n}$ es una secuencia de Cauchy de números complejos. Por lo tanto $f_{n} \rightarrow f$ uniformemente. Claramente tenemos pointwise convergencia pero ¿por qué es uniforme?

2) no veo por qué no $||f_{n} - f||_{\infty} \rightarrow 0$. ¿Puede por favor explicar este paso?

Gracias.

(3/2015) Edit: El enlace original parece estar roto. Este documento parece proporcionar una similar (tal vez incluso idénticos) prueba para la que el OP habla con leves signos de notación diferencias.

Answer 1

La clave es que estamos trabajando en $N^c$, donde tenemos, moralmente hablando, definidas $N$ a ser el conjunto de puntos donde las cosas van mal. En detalle, $N$ es el conjunto de puntos de $x$ donde 1) $f(x)$ es mayor que la limsup $\|f\|$, o 2) la serie de $(f_n)$ no es de Cauchy en $x$.

Fuera de $N$, los términos de $f_n$ son limitadas y la serie de $(f_n)$ es de Cauchy.

Para la pregunta 1), utilice el hecho de que $(f_n)$ (uniformely!) Cauchy fuera de $N$ y $\mathbb C$ es completa para definir una función de límite de $f$ en el conjunto de $N^c$. Se deben seguir, casi por definición, de $f$, $f_n \to f$ uniformely en $N^c$.

Para la pregunta 2), entonces sabemos que a partir de la pregunta 1 que $\|f_n - f\|_\infty \to 0$$N^c$. Siguiente, extender el límite de la función $f$ a todo el conjunto mediante la configuración es igual a 0 en $N$. ¿Cuál es la medida de $N$? ¿Cómo que juegan en la definición de la $\| \cdot \|_\infty$ norma, y por tanto, la pregunta acerca de los límites?