En la serie $\sum_{n=1}^{\infty} (H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n}))/n^{s}$, donde $H_{n}$ es el número armónico $n$ th

Question

Es conocida la siguiente (ver [1], aquí es de libre acceso en PDF en su página de inicio):

Teorema (Lagarias, 2002). Deje $\sigma(n)$ denotar la suma de los divisores positivos de $n$. Hipótesis de Riemann tiene si y sólo si $$\sigma(n)\leq H_n + \exp( H_n)\cdot \log( H_n)$$ para cada $n$ donde $ H_n= 1+1/2+\cdots +1/n$.

Por otro lado, vamos a $\zeta$ ser la de Riemann de la función, es sabido que para $\sigma >2$, véase [2] página 229, (y página 231 para su correspondiente producto de Euler si la necesita) $$\zeta (s)\zeta(s-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma(n)}{n^{s}}$$ converge absolutamente, donde aquí $s=\sigma + it$ es la variable compleja de este Dirichlet de la serie, y por lo tanto $\sigma$ su parte real.

Por lo tanto, tratamos de obtener una relación entre la anterior información, primero se multiplica Lagarias la' desigualdad por $n^{-s}$, y en segundo lugar, obtener una serie cuando agregue todos los términos, y, finalmente, asumimos $\sigma >2$, esto es $$\zeta (s)\zeta(s-1)\leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n}))}{n^{s}}$$

Pido a las Matemáticas de Intercambio de la Pila de la comunidad esta

Pregunta. ¿Qué acerca de la convergencia absoluta de la serie sobre el término derecho de la desigualdad anterior? Y, podemos obtener alguna información sobre la declaración del problema sin resolver, la denominada Hipótesis de Riemann, de la desigualdad anterior (es anterior a la desigualdad tiene un gran sentido, o no, no es útil)?

Gracias, no sé si hay literatura anterior sobre esta cuestión específica, ni mi pregunta es realmente útil; puedo editar esta pregunta, porque si a partir de la discusión sobre la convergencia de esta serie que me puede aprender al mismo tiempo, acepto que la segunda parte de mi pregunta es especulativa, pero quiero mostrar a usted si usted quiere pensar en ello.

Referencias:

[1] Jeffrey C. Lagarias, Un Problema Elemental Equivalente a la Hipótesis de Riemann, La American Mathematical Monthly Vol. 109, Nº 6 (Jun. -Jul., 2002), pp 534-543.

[2] Tom M. Apostol, Introducción a la Teoría Analítica de números, Springer (1976).

Answer 1

Supongo que la serie en el lado derecho es $$\sum{n\geq1}\frac{H{n}+\exp\left(H{n}\right)\log\left(H{n}\right)} {n ^ {s}}. $$ It's well known that $$H{n}=\log\left(n\right)+\gamma+o\left(1\right) $$ where $\gamma $ is the Euler-Mascheroni constant. Hence the series is absolutely convergent if $\textrm{Re}\left(s\right) > $. About the second question, there is no reason to belive that this is in some way useful for the Riemann hypothesis. Remember that the identity $$\zeta\left 2 (s\right) = \sum {n\geq1} \frac {1} {n ^ {s}} $$ holds only for $\textrm{Re}\left(s\right) > 1 $.