¿Si $f^2$ es diferenciable, como patológicos $f$ se puede?

Question

Disculpas por lo que probablemente sea una pregunta tonta desde la perspectiva de alguien que pagó una mejor atención en el análisis real de la clase.

Deje $I \subseteq \mathbb{R}$ ser un intervalo y $f : I \to \mathbb{R}$ ser una función continua tal que $f^2$ es diferenciable. Se sigue por elementales de cálculo que $f$ es diferenciable cuando es distinto de cero. Sin embargo, teniendo en cuenta, por ejemplo $f(x) = |x|$ muestra que $f$ no es necesariamente diferenciable en sus ceros.

Puede que la situación con $f$ ser peor que una contables conjunto de singularidades aisladas mirando como el que $f(x) = |x|$ tiene en el origen?

Answer 1

Para ampliar TZakrevskiy la respuesta, podemos utilizar uno de los intermedios de los lemas de la prueba de Whitney extensión del teorema.

Teorema (Existencia de regularización de distancia) Deje $E$ ser arbitrarios en conjunto cerrado en $\mathbb{R}^d$. Existe una función de $f$, continua en $\mathbb{R}^d$, y suave en $\mathbb{R}^d\setminus E$, una gran constante $C$, y una familia de grandes constantes $B_\alpha$ ($C$ y $B_\alpha$ son independientes de la elección de la función de $f$) tales que

1. $C^{-1} f(x) \leq \mathrm{dist}(x,E)\leq Cf(x)$
2. $|\partial^\alpha f(x)| \leq B_\alpha~ \mathrm{dist}(x,E)^{1 - |\alpha|}$ para cualquier multi-índice de $\alpha$.

(Véase, por ejemplo, en el Capítulo VI de Stein Singular Integrales y la diferenciabilidad de las Propiedades de las Funciones.)

Propiedad 1 asegura que si $x\in \partial E$ el límite, $f$ no es diferenciable en a $x$. Por otro lado, también se asegura de que $f^2$ es diferenciable en a $E$. Propiedad 2, en particular, garantiza que $f^2$ es diferenciable lejos de $E$.

Así obtenemos

Corolario Deje $E\subset \mathbb{R}^d$ ser arbitrarios en conjunto cerrado con vacío interior, entonces existe una función de $f$ tal que $f^2$ es diferenciable en $\mathbb{R}^d$, $f$ se desvanece precisamente en $E$, e $f$ no es diferenciable en a $E$.

Answer 2

Me gustaría probar algo a lo largo de estas líneas:

Si tenemos en cuenta $K$ - Cantor se encuentra en $[0,1]$ y $f(x)=\inf_{y\in K} |x-y|$. Esta función es continua y tiene un continuo de ceros: $f^{-1}(0)=K$. La única pregunta es si $f^2$ por todas partes diferenciable. La intuición sugiere que hasta algunos retoques con la definición de $f$ que es.

Ed. refleja el resultado de mi comentario más abajo.