Factorizando un mod quartic p

Question

Deje$h(x)=x^4+12x^3+14x^2-12x+1$, y deje$p>5$ ser un primo.

Quiero mostrar$h(x)$ factores en 2 cuadráticos$\mod p$, si$p \equiv 9,11 \mod 20$, mientras que$h(x)$ factores mod$p$ en 4 factores lineales, si$p \equiv 1,19 \mod 20$ . Puedo mostrar que$h(x)$ es irreductible si$p \equiv 3,7 \mod 10$.

Answer 1

Para empezar, considere el siguiente candidato de la factorización: $$ (x^2+ax-1)(x^2+bx-1)=x^4+(a+b)x^3+(ab-2)x^2-(a+b)x+1. $$ Esto funciona si $a+b\equiv 12$$ab\equiv 16$. El discriminante de la ecuación cuadrática $$ (T-a)(T-b)=T^2-(a+b)T+ab=T^2-12T+16 $$ es igual a $20$. Así que si $20$ es un residuo cuadrático módulo $p$, entonces tenemos una factorización de este tipo. Como $20=2^2\cdot5$ que realmente nos interesa, si $5$ es un residuo cuadrático módulo $p$ o no. Por la reciprocidad cuadrática esto sucede, iff $p$ es un residuo cuadrático módulo $5$. Así tenemos que la factorización de este tipo existe, iff $p\equiv\pm1\pmod5.$ Del curso, esto es equivalente a $p$ siendo congruentes a $1,9,11$ o $19$ modulo $20$.

No sé, si es fácil o difícil extender este elemental argumento y detectar, si estos factores cuadráticos se divide aún más. Además, este argumento, obviamente, no se descarta la posibilidad de que otros factores cuadráticos, pero parecía tener el casos $p\equiv\pm2\pmod 5$ cubierto ya.

Answer 2

pari nos dice que $h$ genera la misma división de campo como $g(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x + 1$, lo que ha discriminante $1125 = 3^2 5^3$. Su grupo de Galois es cíclica, por lo tanto el campo debe ser un subcampo del 15 de raíces de la unidad de Kronecker-Weber. El cyclotomic descomposición ley nos dice que

• $p$ se divide por completo si y sólo si $p \equiv \pm 1 \bmod 15$,

• $p$ se divide en dos factores primos si y sólo si $p \equiv \pm 4 \bmod 15$,

• $p$ es inerte si y sólo si $p \equiv \pm 2, \pm 7 \bmod 15$.

Por un clásico teorema de Kummer, esto refleja la división del polinomio modulo $p$, excepto para los divisores de la dirscriminant de $h$.

Usted puede demostrar que la división de campo de la $h$ es cyclotomic sin pari y de Kronecker-Weber mediante la resolución de la cuártica con los radicales, pero esto requiere de esfuerzos.