cómo racionalizar $\frac {x-8}{\sqrt[3]{x}-2}$

Question

Para resolver un límite, necesito racionalizar $\frac {x-8}{\sqrt[3]{x}-2}$ . Intenté multiplicarlo por $\sqrt[3]{x^3}$ o $\sqrt[3]{x^2}$ pero sin mucho éxito. Parece que no puedo utilizar también la identidad "Diferencia de Cuadrados". El límite en cuestión es:

$$ \textstyle \lim_{x \to 8}\frac {x-8}{\sqrt[3]{x}-2} $$

Cuando ${x \to 8}$ El límite es indeterminado. Sé que existe la regla de l'Hôpital, pero no puedo utilizarla ahora, porque aún no he leído el tema de las derivadas (he empezado por el principio).

Answer 1

Sugerencia: Deja que $x^{1/3}=y$ . Entonces estamos viendo $\dfrac{y^3-8}{y-2}$ .

Answer 2

Aviso, $(a-b)(a^2+b^2+ab)=a^3-b^3$ Ahora tenemos $$\frac{x-8}{x^{1/3}-2}$$ $$=\frac{(x-8)(x^{2/3}+4+2x^{1/3})}{(x^{1/3}-2)(x^{2/3}+4+2x^{1/3})}$$ $$=\frac{(x-8)(x^{2/3}+4+2x^{1/3})}{((x^{1/3})^3-(2)^3)}$$ $$=\frac{(x-8)(x^{2/3}+4+2x^{1/3})}{(x-8)}$$ $$=\color{blue}{x^{2/3}+2x^{1/3}+4}$$