El espacio de secciones suaves de un haz vectorial.

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad compacta de dimensión finita y $\pi : \mathrm{B} \rightarrow M$ un haz vectorial sobre $M$ cuya fibra típica es $\mathbb{R}^n$ . Denote por $\mathcal{C}^{\infty}(M, \mathrm{B})$ el espacio vectorial de todas las secciones suaves de $\mathrm{B}$ .

Si elegimos métricas riemannianas sobre (las fibras de) $\mathrm{B}$ y en $M$ y luego introducir una conexión métrica $D$ en $B$ podemos definir una familia de seminormas sobre $\mathcal{C}^{\infty}(M, \mathrm{B})$ por $$\| s \|_n = \sum_{i = 0}^n~\sup_{x \in M} |D^js(x)|,$$ donde $|D^0s(x)|$ es sólo $|s(x)|$ y para $j \geq 1$ , $$|D^js(x)| = \sup |(D_{v_1} \circ \dots \circ D_{v_j}s)(x)|,$$ el supremum que se toma sobre todo $(v_1, \ldots, v_j) \in (T_xM)^j$ con $|v_k| = 1$ , para $k = 1, \ldots, j$ . No es difícil demostrar que si $\{s_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ es un Cauchy secuencia en $\mathcal{C}^{\infty}(M, \mathrm{B})$ con respecto a esta familia de seminormas, entonces converge a una sección continua $s : M \rightarrow \mathrm{B}$ . Me gustaría demostrar que $s$ es realmente suave.

PREGUNTA : ¿Cuál sería la mejor ( $\sim$ menos desordenada, más corta) manera de probar esto?

Gracias.

Answer 1

¿Está seguro de que esto es cierto?

Considere lo siguiente: tome $M = S^1$ para ser el círculo unitario y tomar $B \to M$ para ser un haz de líneas trivial con fibra $\mathbb R^1$ . El espacio de secciones globales suaves de $B$ es entonces sólo el espacio de funciones suaves sobre $S^1$ . Equipar $S^1$ con la métrica habitual en el círculo y equipar $B$ con la métrica euclidiana. Tomemos las conexiones implicadas como las triviales.

Ahora dejemos que $f : S^1 \to [-1,1]$ sea la función inducida por $x \mapsto \sin(2\pi x)$ . Esta función es suave, y por lo tanto una sección suave de $B$ . Obsérvese que la función de valor absoluto $|\cdot| : [-1,1] \to \mathbb R$ es continua. Por el teorema de aproximación de Weierstrass existe una secuencia de polinomios $p_m$ que converge uniformemente a $|\cdot|$ en $[-1,1]$ . La composición $s_m = p_m \circ f$ es, por tanto, una secuencia de secciones suaves de $B$ que converge a $s(x) = |\sin(2\pi x)|$ que no es una sección suave de $B$ (su derivada es discontinua en el punto correspondiente al cero $\pi$ - basta con trazar el gráfico de la función para verlo).

No he verificado los detalles, así que es posible que la secuencia $(s_m)$ no converge en la seminorma requerida (básicamente debido a la discontinuidad de la primera derivada del límite). Si es así, la sustitución del valor absoluto por una función con primeras derivadas continuas, pero no segundas, debería dar un contraejemplo.

En general creo que se obtiene el espacio de $L^2$ secciones de $B$ tomando la terminación con respecto a la seminorma que has definido, y no el espacio de secciones lisas.