Demuestre que$f_A (x) = d({\{x}\}, A)$, es continuo.

Question

Pruebalo:

Permita que$(X, d)$ sea un espacio métrico, y permita que$A$ sea un subconjunto de$X$. La función$f_A\colon X\rightarrow \mathbb{R}$, definida por$f_A (x) = d({\{x}\}, A)$, es continua.

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Honestamente, no tengo idea de por dónde empezar. Necesito demostrar que el inverso de un conjunto abierto en$\mathbb{R}$ está abierto$X$. Lo que hace que sea difícil acercarse es la definición involucrada:$$d(A, B) = \operatorname{glb}\{d(a, b)\mid a \in A, b \in B\}.$ $

¿Alguien podría ayudarme a resolver esta pregunta?

Gracias.

Answer 1

Desde $f_{A}$ es un mapa entre espacios métricos (cada uno con la topología inducida por su métrica), podemos utilizar el $\epsilon$–$\delta$ definición de continuidad: $f_{A}$ es continua en un punto a $x\in X$ si para todas las $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f_{A}(y)-f_{A}(x)|<\epsilon$ si $|x-y|<\delta$.

Así que, tome cualquiera de las $x\in X$ y cualquier $\epsilon>0$. Considere la posibilidad de $y$ cerca de $x$. Intuitivamente, se esperan $f_{A}(y)$ estar cerca de $f_{A}(x)$. Podemos mostrar esta formalmente con el triángulo de la desigualdad, que nos dice que $d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a)$ todos los $a\in A$. Reorganizar, $d(y,a)-d(x,a)\leq d(y,x)$. Por el mismo argumento, $d(x,a)-d(y,a)\leq d(y,x)$, por lo que el $|d(y,a)-d(x,a)|\leq d(y,x)$. Debido a que este tiene para todos los $a\in A$, podemos decir que el $|f_{A}(x)-f_{A}(y)|\leq d(x,y)$. En particular, $|f_{A}(x)-f_{A}(y)|$ menos de $\epsilon$ siempre $d(x,y)<\epsilon$. Por lo tanto, $f_{A}$ es continua en a $x$. Esto es válido para todas las $x\in X$, lo $f_{A}$ es continua.

Answer 2

La idea es utilizar la desigualdad de triángulo inverso: $$d(x,a) - d(y,a) \leq d(x,y), $$given $x, y \in X $, $a \in A$. But notice that $d(x,A) \leq d(x,a) $, so we get: $$d(x,A) - d(y,a) \leq d(x,y).$$Reorganize: $$d(x,A)-d(x,y) \leq d(y,a).$$Now take the infimum on $a$: $$d(x,A) - d(x,y) \leq d(y,A).$$Reorganize: $$d(x,A) - d(y,A) \leq d(x,y).$$Since $x$ and $y$ were arbitrary, we can swap the above inequality to obtain: $$d(y,A)-d(x,A) \leq d(y,x) = d(x,y).$$This gives: $$|d(x,A)-d(y,A)| \leq d(x,y).$$Now let $\epsilon > 0$, and check that $\delta = \epsilon > 0$ will work in the definition of continuity. Since $\delta$ does not depend on $x $ and $y$, la función es realmente uniformemente continua (que es aún mejor).