Encuentre todas las soluciones de$e^z = e$ con$z \in \mathbb{C}$

Question

¿Cómo hacemos esto?

$e^z = e \implies e^{x+iy} = e \implies x+iy =1$

Obviamente,$(1,0)$ funciona, pero ¿qué más?

Answer 1

Se puede observar:

Answer 2

$ e^z = e $, z = x + i * y

=>$|e^z| = |e^{x+i*y}| = e^x = e $ => x = 1 (aquí la exponencial es real, tienes inyectividad)

Ahora obtenemos:$ e^z = e*e^{iy} = e $ =>$e^{iy} = 1$ =>$y = 2k\pi$, k entero

Let:$z_o$ = 1 +$2ik\pi$,$e^{z_o} = e^{1+2ik\pi} = e $

Entonces todas las soluciones son {1+$2ik\pi$, k entero}

Answer 3

ps