$T:X\to X$ es absolutamente sumatoria si y sólo si $\sum_{n=1}^\infty \|Tx_n\|<\infty$ siempre que $\sum_{n=1}^\infty x_n$ es incondicionalmente convergente.

Question

La siguiente proposición está extraída de Temas de la teoría de los espacios de Banach por Albiac y Kalton .

Propuesta $8.2.2$ : Un operador $T:X\to X$ es absolutamente sumatoria si y sólo si $\sum_{n=1}^\infty \|Tx_n\|<\infty$ siempre que $\sum_{n=1}^\infty x_n$ es incondicionalmente convergente.

En el libro, los autores no proporcionan una demostración del teorema anterior y dicen que la demostración es rutinaria. Sin embargo, no sé cómo demostrarlo. Se agradece cualquier pista. Si alguien conoce alguna referencia que contenga una prueba de la proposición, ¿puede dármela?

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Definiciones : Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios de Banach. $T$ se dice que es absolutamente sumatoria si existe una constante $C$ tal que para todas las elecciones de $(x_k)_{k=1}^n$ en $X,$ $$\sum_{k=1}^n\|Tx_k\|\leq C\sup\bigg\{ \sum_{k=1}^n|x^*(x_k)|:x^*\in X^*, \|x^*\|\leq 1 \bigg\}.$$

Decimos que $\sum_{n=1}^\infty x_n$ es incondicionalmente convergente si se cumple una de las siguientes condiciones:

$(1)$ $\sum_{n=1}^\infty x_{\pi(n)}$ converge para cada permutación $\pi$ de $\mathbb{N}.$

$(2)$ La serie $\sum_{k=1}^\infty x_{n_k}$ converge para toda secuencia creciente $(n_k)_{k=1}^\infty$

$(3)$ La serie $\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n$ converge para cualquier elección de signos $(\varepsilon_n).$

$(4)$ Por cada $\varepsilon>0,$ existe $n$ de manera que si $F$ es un subconjunto finito de $\{n+1,n+2,...\},$ entonces $$\bigg\| \sum_{j\in F} x_j \bigg\|<\varepsilon.$$

Answer 1

Voy a suponer escalares reales por comodidad (cualquier espacio de Banach complejo es también un espacio de Banach real). Necesitamos otra forma equivalente de convergencia incondicional, a saber

(5) Para cada $\varepsilon>0$ existe $n$ tal que $$\sum_{k>n} |x^*(x_k)| < \epsilon $$ para todos $x^*\in X^*$ con $\|x^*\|\le 1$ .

(Observación: pensar en cada $x$ como una función en la bola unitaria de $X^*$ , podemos interpretar (5) como que la convergencia incondicional es la convergencia absoluta uniforme de las series de estas funciones).

Demostremos que (5) es equivalente a (4). En primer lugar, (5) implica (4) porque para cualquier conjunto finito $F$ como en (4) tenemos $$ \bigg\| \sum_{j\in F} x_j \bigg\| = \sup_{\|x^*\|=1} x^*\bigg( \sum_{j\in F} x_j\bigg) = \sup_{\|x^*\|=1} \sum_{j\in F} x^*(x_j) \le \sup_{\|x^*\|=1} \sum_{k>n} |x^*(x_k)| $$

A la inversa, supongamos que (4) se cumple. Dado $\varepsilon$ , aplique (4) a $\varepsilon/3$ y obtener $n$ de ella. Dado $x^*$ con $\|x^*\|\le 1$ y un número $N>n$ , dejemos que $$ F^+ = \{n < k\le N : x^*(x_k)>0\}, \quad F^- = \{n < k \le N : x^*(x_k)<0\} $$ Según (4), $$ \sum_{k\in F^+} |x^*(x_k)| = \sum_{k\in F^+} x^*(x_k) = x^*\left(\sum_{k\in F^+} x_k\right) < \varepsilon/3 $$ De la misma manera, $\sum_{k\in F^-} |x^*(x_k)|<\varepsilon/3$ . Así, obtenemos $$ \sum_{k=n+1}^N |x^*(x_k)|<2\varepsilon/3 $$ Desde $N$ era arbitraria, $$ \sum_{k>n} |x^*(x_k)|\le 2\varepsilon/3 < \varepsilon. $$

Operadores de suma absoluta

Supongamos que $T$ es absolutamente sumable y $\sum x_n$ es incondicionalmente convergente. Dado $\varepsilon>0$ , dejemos que $n$ sea como en la propiedad (5) anterior. Entonces para cada $N>n$ tenemos $$ \sum_{k=n+1}^N \|Tx_k\| \leq C\sup\bigg\{ \sum_{k=n+1}^N |x^*(x_k)|:x^*\in X^*, \|x^*\|\leq 1 \bigg\} < C\varepsilon $$
Desde $\varepsilon$ es arbitrariamente pequeño, esto demuestra $\sum \|Tx_k\|$ converge.

Por el contrario, supongamos que $T$ es no absolutamente sumando. Entonces, para cada $j\in\mathbb{N}$ existe una secuencia finita de vectores $(x_k)_{k=1}^n$ tal que $$ \sum_{k=1}^n\|Tx_k\| > 2^j \sup\bigg\{ \sum_{k=1}^n|x^*(x_k)|:x^*\in X^*, \|x^*\|\leq 1 \bigg\} $$ Multiplica todos estos vectores por una constante adecuada para que $\sum_{k=1}^n\|Tx_k\| =1 $ Por lo tanto
$$\sup\bigg\{ \sum_{k=1}^n|x^*(x_k)|:x^*\in X^*, \|x^*\|\leq 1 \bigg\} < 2^{-j}$$ Repita lo anterior para $j=1, 2, 3, \dots$ , obteniendo una secuencia finita de vectores cada vez, y poner todos estos vectores en una serie: (vectores de $j=1$ ), (vectores de $j=2$ ), (vectores de $j=3$ ), etc. Por construcción esta serie satisface la propiedad (5) y por tanto es incondicionalmente convergente. También por construcción, la serie de $\|Tx_j\|$ es divergente, ya que cada $j$ -el bloque contribuye $1$ a ella.