¿Cuánta potencia se necesitaría para detener una bala con un imán?

Question

Si una bala de plomo con chaqueta de cobre de 7.5 gramos (digamos, un 9x19mm Parabellum) viajaba a 360 m/s, ¿cuánta potencia se necesitaría para detenerla diamagnéticamente en el espacio de un metro?

Esta pregunta surge de la discusión sobre esta pregunta en SF&F SE, sobre la escena en la película X-Men donde Magneto detiene una bala antes de que golpee a alguien en la cara. Soy consciente de que un imán lo suficientemente fuerte como para causar este efecto va a tener una gran cantidad de efectos secundarios. Me interesa principalmente el caso ideal de simplemente detener una bala, en lugar de la complicación de hacerlo a una pulgada de la cara de alguien.

Answer 1

La energía cinética de la bala es $\frac12 mv^2 \approx 1$ kilojulio.

Si la desaceleración es continua sobre $x=1$ metro, la conservación de energía nos da una aceleración $a = v_\text{inicial}^2/2x \approx 65,000\,\mathrm{m/s^2} \approx 6600\,g$, y el tiempo de detención es $t = v_\text{inicial}/a \approx 5.6$ milisegundos.

Al distribuir la energía de la bala a lo largo del tiempo de detención, se obtiene una potencia promedio de 175 kilovatios. Si se hacen algunas suposiciones exageradas de que el mecanismo para detener la bala es ineficiente, quizás se pueda multiplicar esta potencia por un factor de 10–100.

¡Esto es mucha potencia! Pero el intervalo de tiempo es muy breve. Y ciertamente no es prima facie antifísico—después de todo, la explosión de pólvora que lanzó la bala involucró la misma transferencia de energía y una longitud de aceleración considerablemente menor a un metro.

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Después de un poco de reflexión, y un error tonto, puedo hacer una estimación del orden de magnitud del campo magnético que tendría que estar involucrado.

Esperaría que el efecto principal involucrado en detener rápidamente una bala no sea el diamagnetismo, un efecto pequeño donde la intensidad del campo magnético dentro de un material "no magnético" se cambia en la cuarta o quinta cifra decimal (y por lo tanto la densidad de energía del campo $E\propto B^2$ se cambia en la octava o décima cifra decimal).

El factor predominante en la introducción de un campo magnético fuerte a una bala serían las corrientes de Foucault en el material. Wikipedia me da una fórmula para la pérdida de energía debido a las corrientes de Foucault en un material, $$ P = \frac{\pi^2 B^2 d^2 f^2}{6k\rho D} $$ donde $P$ es la potencia en vatios por kilogramo, $B$ es el campo máximo, $d$ es el grosor del conductor, $f$ es la frecuencia, $k$ es una constante adimensional que depende de la geometría, $\rho$ es la resistividad, y $D$ es la densidad de masa. Wiki da $k=1$ para un plano delgado y $k=2$ para un alambre delgado, así que adivino $k=3$ para una bala tridimensional. Usando valores para el núcleo de plomo de la bala, encontramos la tasa de cambio de campo \begin{align*} (Bf)^2 &= \mathrm{ \frac{18}{\pi^2} \frac{2\times10^{-7}\,\Omega\,m \cdot 10^4\,kg/m^3}{(10^{-2}\,m)^2} \frac{2\times10^5\,W}{8\times10^{-3}\,kg} } = \mathrm{10^{9} \frac{N^2}{C^2\,m^2} }\\ {}\\ Bf &= \mathrm{ \pi\times10^4\,T/s } \end{align*}

La suposición más simple sobre la frecuencia es que el campo se está incrementando a su máximo mientras la bala se detiene, por lo que hemos visto un cuarto de oscilación y $1/f = 20\,\mathrm{ms}$. Esto nos da un campo máximo de 600 teslas, que es grande, pero no absurdamente grande.

Por otro lado, si Magneto en realidad es un locutor de radio FM a 100 MHz, solo necesitaría un campo de $$\mathrm{ \frac{ \pi\times10^4\,T/s }{ 10^8\,Hz } = \pi\times10^{-4}\,T. }$$ No creo que los ingenieros de radio piensen ordinariamente en las intensidades de campo magnético pico locales, pero esto tampoco es exagerado. Mi estación de la NPR universitaria tiene un transmisor de 100 kW. Sin embargo, su antena no está formada correctamente para poner toda esa potencia en un volumen de un centímetro cúbico.