La geometría proporciona una visión clásica y las desigualdades permitirse el lujo de fácil acceso a rigor.
Solución geométrica
Sabemos, a partir de la geometría de los mínimos cuadrados, que $\mathbf{\bar{x}} = (\bar{x}, \bar{x}, \ldots, \bar{x})$ es la proyección ortogonal del vector de datos de $\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ en el lineal subespacio generado por el vector constante $(1,1,\ldots,1)$ y $\sigma_x$ es directamente proporcional a la (Euclidiana) de la distancia entre el $\mathbf{x}$ $\mathbf{\bar{x}}.$ La no negatividad de las restricciones son lineales y la distancia es una función convexa, de dónde los extremos de la distancia debe ser alcanzado en los bordes del cono determinado por las restricciones. Este cono es el positivo orthant en $\mathbb{R}^n$ y sus bordes son los ejes de coordenadas, de donde se sigue inmediatamente que todos, pero uno de los $x_i$ debe ser cero en el máximo de las distancias. Para un conjunto de datos, de forma directa (simple) cálculo de la muestra $\sigma_x/\bar{x}=\sqrt{n}.$
La solución de la explotación clásica de las desigualdades
$\sigma_x/\bar{x}$ está optimizado simultáneamente con cualquier monótona de la transformación de los mismos. A la luz de esto, vamos a maximizar
$$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} = \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right)^2+1\right) = f\left(\frac{\sigma_x}{\bar{x}}\right).$$
(La fórmula para $f$ puede parecer misterioso hasta que te das cuenta de que sólo registra los pasos que uno puede tomar en forma algebraica de la manipulación de $\sigma_x/\bar{x}$ a ponerlo en un aspecto sencillo formulario, que es el lado izquierdo.)
Una manera fácil comienza con el Titular de la Desigualdad,
$$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2 \le \left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)\max(\{x_i\}).$$
(Este no necesita de ninguna prueba en este simple contexto: simplemente reemplazar un factor de cada plazo $x_i^2 = x_i \times x_i$ de la máxima componente de $\max(\{x_i\})$: obviamente, la suma de los cuadrados no va a disminuir. Factorizando el término común de $\max(\{x_i\})$ rendimientos el lado derecho de la desigualdad.)
Debido a que el $x_i$ no son todos los $0$ (que dejaría $\sigma_x/\bar{x}$ indefinido), la división por el cuadrado de su suma es válido y le da el equivalente de la desigualdad
$$\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} \le \frac{\max(\{x_i\})}{x_1+x_2+\ldots+x_n}.$$
Debido a que el denominador no puede ser menor que el numerador (que en sí es sólo uno de los términos en el denominador), el lado derecho está dominado por el valor de $1$, que sólo se logra cuando todos pero uno de los $x_i$ igual $0$. De dónde
$$\frac{\sigma_x}{\bar{x}} \le f^{-1}\left(1\right) = \sqrt{\left(1 \times (n - 1)\right)\frac{n}{n-1}}=\sqrt{n}.$$
Enfoque alternativo
Debido a que el $x_i$ son no negativos y no se puede sumar a $0$, los valores de $p(i) = x_i/(x_1+x_2+\ldots+x_n)$ determinar una distribución de probabilidad $F$$\{1,2,\ldots,n\}$. Escrito $s$ para la suma de los $x_i$, reconocemos
$$\eqalign{
\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2} &= \frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{s^2} \\
& = \left(\frac{x_1}{s}\right)\left(\frac{x_1}{s}\right)+\left(\frac{x_2}{s}\right)\left(\frac{x_2}{s}\right) + \ldots + \left(\frac{x_n}{s}\right)\left(\frac{x_n}{s}\right)\\
&= p_1 p_1 + p_2 p_2 + \ldots + p_n p_n\\
&= \mathbb{E}_F[p].
}$$
El axioma el hecho de que no hay probabilidad puede exceder $1$ implica que esta expectativa no puede exceder $1$,, pero es fácil de hacer, es igual a $1$ mediante la configuración de todos, pero uno de los $p_i$ igual a $0$ y por lo tanto una de las $x_i$ es distinto de cero. Calcular el coeficiente de variación como en la última línea de la solución geométrica de arriba.
