Cómo derivar la distribución proyectada de normal

Question

Supongamos que tenemos una variable normal bivariante $\mathbf{x}= (x_1, x_2)$, con una media de $\mu_1$ $\mu_2$ y las varianzas de las $\sigma_1^2$ $\sigma_2^2$ y la correlación de $\rho$. Necesito obtener el pdf de la transformación de $||\mathbf{x}||^{-1} \mathbf{x}$: las coordenadas de una variable en el círculo unidad.

En direccional estadística esta es una distribución conocida se llama la proyección de la normal, o desplazamiento normal. Ya tengo el pdf, pero quiero derivar por mí mismo. Yo soy capaz de hacer una variable de transformación cuando hay una relación de 1 a 1, pero este no es el caso.

Puede alguien me puso en el camino correcto?

Sólo para el término: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1572312712000457 Un pdf donde se explica la proyección de la distribución normal

Answer 1

Hay un truco para calcular la pdf normal proyectada 2-d, que se puede encontrar en la pág. 52 de Mardia (1972).

Después del cambio de la variable $x_1 = r\, \cos\theta$ y $x2 = r\,\sin\theta$, tenemos $f(\theta)= \int{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2} }r\,\mbox{exp}{-\frac{\sigma_2^2(r\cos\theta-\mu_1)^2-2\rho(r\cos\theta-\mu_1)(r\sin\theta-\mu_2)+\sigma_1^2(r\sin\theta-\mu_2)^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)}}\mbox{d}r$,

Utilice el siguiente resultado, $d^2\int_{0}^{\infty}r\,\mbox{exp}{-\frac{1}{2}d^2(r^2-2br)}\mbox{d}r = 1+ (2\pi)^{\frac{1}{2}}bd\,\mbox{e}^{\frac{1}{2}b^2d^2}\Phi(bd),$

donde $\Phi(x)$ es la cdf de $\mbox{N}(0,1)$.

$d^2 = \frac{\sigma_2^2\cos^2\theta-\rho\sigma_1\sigma_2\sin2\theta+\sigma_1^2\sin^2\theta}{(1-\rho^2)\sigma_1^2\sigma_2^2}$ Y $b = \frac{\mu_1\sigma_2(\sigma_2\cos\theta-\rho\sigma_1\sin\theta)+\mu_2\sigma_1(\sigma_1\sin\theta-\rho\sigma_2\cos\theta)}{\sigma_2^2\cos^2\theta-\rho\sigma_1\sigma_2\sin2\theta+\sigma_1^2\sin^2\theta}$, vas a obtener el pdf que aparece en el documento anterior.