Acotar las salidas de un polinomio

Question

Dejemos que $p(x)$ sea un polinomio con coeficientes enteros y $k\geq 6$ un número entero positivo.

Dado que $x_1,x_2,\ldots,x_k$ son enteros distintos tales que $p(x_1),p(x_2),\ldots,p(x_{k})\in\{1,2,\ldots,k-1\}$ , demuestre que $p(x_1)=p(x_2)=\cdots=p(x_k)$ .

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No estoy seguro de cómo proceder. Es obvio para el grado $1$ y $2$ polinomios. Sólo quiero una pista. La condición $k \ge 6$ es bastante misterioso.

Intenté hacerlo por inducción en $k$ . Incluso el caso base no es obvio, pero supongamos que demostramos que es cierto para $k=6$ . Si ninguno de $p(x_1),...p(x_k)$ son iguales a $k-1$ Hemos terminado, ya que hay $k$ salidas en $\{1,..,k-2\}$ son todos iguales por la hipótesis inductiva.

Si exactamente una de las salidas es $k-1$ , wlog es $p(x_k)$ todavía tenemos $k-1$ salidas en el conjunto $\{1,...,k-2\}$ y todos son iguales a algún número $a$ por lo que podemos escribir

$p(x)=a+q(x)(x-x_1)...(x-x_{k-1})$

Entonces $p(x_k)=a+q(x_k)(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})=k-1$ . Pero claramente

$k-2 \ge |a-(k-1)|=|q(x_k)(x_k-x_1)...(x_k-x_{k-1})| \ge 2^{k-3}$

una contradicción para $k \ge 5$ . Tal vez fui perezoso con la delimitación y puedo obtener una contradicción para $k \ge 6$ . Me sorprendería que no fuera de aquí de donde proviene la condición.

¿Qué pasa si hay más de una salida igual a $k-1$ ? Estoy pensando en eso.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario. Se trata de una recopilación de reflexiones que pueden llevar al buen camino. También estoy de acuerdo en que debería valer para $k \geq 5$ también.

Arreglar $k$ . Supongamos que $x_1, \dots, x_{k-1}$ son todos iguales y $x_k$ es distinto. Entonces, podemos decir que $p(x) = a(x - x_1)^{e_1}(x - x_2)^{e_2}\dots(x - x_{k-1})^{e_3} + b$ avec $0 < b < k$ .

Pero el producto $|p(x_k)| = |a(x_k -x_1)^{e_1}(x_k - x_2)^{e_2} \dots (x_k - x_{k-1})^{e_{k-1}}| + b$ es demasiado grande. De hecho, cuando $k = 6$ y $n = 5$ lo tenemos minimizado cuando las raíces son $x_{k} - 1, x_k - 2, x_k + 1, x_k + 2, x_k + 3$ las multiplicidades son uno, y $a = 1$ . El mínimo del producto es $12$ en ese caso, por lo que todos los $x_i$ deben ser iguales. Esto se cumple claramente cuando $k$ también es mayor.

Esto también funciona para $k=5$ pero no para $k=4$ (toma $p(x) = (x-2)(x-1)(x+1) + 1$ ).