Supongamos$X_n\sim \text{Poisson}(n)$. Muestra esa $\sqrt{X_n}-\sqrt{n}\overset{d}\to \mathcal N(0,1/4)$.

Question

<blockquote> <p>Supongamos que $X_n\sim \text{Poisson}(n)$. Mostrar que $\sqrt{X_n}-\sqrt{n}\overset{d}\to \mathcal N(0,1/4)$.</p> </blockquote> <p>Ya sé que $(X_n-n)/\sqrt{n}\overset{d}\to \mathcal N(0,1)$. ¿Cómo hacer al lado de ir a través de la prueba?</p>

Answer 1

Conjunto de $Y_n = \frac{X_n}{n}$, entonces usted ya sabe $\sqrt{n}(Y_n - 1) \to \mathcal{N}(0, 1)$.

Ajuste $g(x) = \sqrt{n}$, el método delta producciones %#% $ #%

Ahora tenga en cuenta que $$\sqrt{n}(g(Y_n) - g(1)) \to \mathcal{N}(0, g'(1)^2).$, es decir $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ y $g'(1)^2 = \frac{1}{4}$ $

Answer 2

Sugerencia: Aplicar el método del Delta con $g(x)=\sqrt{x}$, $$(X_n-n)/\sqrt{n}=\sqrt{n}\left(\frac{X_n}n-1\right) \overset{d}\to \mathcal N(0,1)$ $