¿Por qué es este abelian grupo de Galois?

Question

Considere la extensión de campo$\mathbb Q(\zeta_3,\sqrt[3]2,\zeta_8)/\mathbb Q(\zeta_3)$, con campos intermedios$\mathbb Q(\zeta_3,\sqrt[3]2)$ y$\mathbb Q(\zeta_3,\zeta_8)$.

Denotar

$L:=\mathbb Q(\zeta_3,\sqrt[3]2,\zeta_8)$,$K=\mathbb Q(\zeta_3)$,$M_1=\mathbb Q(\zeta_3,\sqrt[3]2)$,$M_2=\mathbb Q(\zeta_3,\zeta_8)$

Ahora sé que la extensión$L/K$ es galois. Creo que todas las demás subextensiones también son galois (?)

¿Cómo veo que el grupo Galois de$L/K$ es abelian?

Answer 1

Hechos básicos sobre linealmente disjuntos extensiones y cómo se malla con extensiones de Galois darles todo lo que quieren. Si usted no ha visto el concepto antes de que usted puede utilizar las notas que he preparado para un local de seminario como un botiquín de primeros auxilios. Pete L. Clark ha publicado más extensa y pulido de notas de la conferencia en su página web.

De todos modos:

1. $M_1/K$ es una extensión de Galois y cíclica de grado tres, porque es una raíz de la extensión del texto, en donde el campo base contiene el adecuado raíces de la unidad.
2. $M_2/K$ es una extensión de Galois de grado cuatro con el grupo de Galois isomorfo a la Klein cuatro grupo. Esto es debido a que $M_2$ es el 24 de cyclotomic campo.
3. Debido a $[M_1:K]=3$ $[M_2:K]=4$ son coprime tenemos $M_1\cap M_2=K$.
4. Para dos extensiones de Galois (del mismo campo $K$) de la trivial intersección condición de elemento 3 es equivalente a la de las extensiones de ser linealmente disjuntos, entonces (véase la Proposición 7 en mis notas) el compositum $L=M_1M_2$ es de Galois sobre $K$, y el grupo de Galois $$Gal(L/K)\cong Gal(M_1/K)\times Gal(M_2/K)$$ es así abelian como un producto directo de dos abelian grupos.

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Los resultados más relevantes cabe duda de que también se puede encontrar en muchos libros de texto:

• Dos extensiones de Galois son linealmente disjuntos, si su intersección es trivial.
• El compositum de dos linealmente disjuntos extensiones de Galois es en sí mismo Galois, y el correspondiente grupo de Galois es el producto directo de los grupos de Galois de los dos más pequeñas extensiones.

Answer 2

No creo que esto sea tan difícil. Su campo de tierra es$K=\Bbb Q(\zeta_3)$, el campo de las raíces cúbicas de la unidad. Tiene una extensión obtenida al lado de$K$ la raíz del cubo de$2$, y esto es abelian, de hecho cíclico de orden$3$. La otra extensión de$K$ se obtiene uniendo las octavas raíces de la unidad, y eso es abeliano, ya que es abeliano sobre$\Bbb Q$. Entonces tienes un compuesto de dos extensiones abelianas de$K$, y esta extensión es consecuentemente abeliana.