Probar que si $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es tal que $f(x+y)=f(x)f(y)$ todos los $x,y$, e $f$ es continua en a $0$, entonces es continua en todas partes.
Si no existe $c \in \mathbb{R}$ tal que $f(c) = 0$, luego $$f(x + c) = f(x)f(c) = 0.$$ Como cada número real $y$ puede ser escrito como $y = x + c$ de $x$, esta función es cero en todas partes o en ninguna parte de cero. El último caso es la más interesante. Así que vamos a considerar el caso de que $f$ no es la función constante $f = 0$.
Para probar la continuidad en este caso, tenga en cuenta que para cualquier $x \in \mathbb{R}$ $$f(x) = f(x + 0) = f(x)f(0) \implies f(0) = 1.$$
La continuidad en $0$ nos dice que, dado cualquier $\varepsilon_0 > 0$, podemos encontrar $\delta_0 > 0$ tal que $|x| < \delta_0$ implica $$|f(x) - 1| < \varepsilon_0.$$
Bien, así que vamos a $c \in \mathbb{R}$ se fija arbitrariamente (recordemos que $f(c)$ es distinto de cero). Deje $\varepsilon > 0$. Por la continuidad de $f$$0$, se puede elegir $\delta > 0$ tal que $$|x - c| < \delta\implies |f(x - c) - 1| < \frac{\varepsilon}{|f(c)|}.$$
Ahora note que para todos los $x$ tal que $|x - c| < \delta$, tenemos $$\begin{align*} |f(x) - f(c)| &= |f(x - c + c) - f(c)|\\ &= |f(x - c)f(c) - f(c)|\\ &= |f(c)| |f(x - c) - 1|\\ &\lt |f(c)| \frac{\varepsilon}{|f(c)|}\\ &= \varepsilon. \end{align*}$$ Por lo tanto $f$ es continua en a $c$. Desde $c$ fue arbitraria, $f$ es continua en todos los de $\mathbb{R}$.
Es el procedimiento correcto?
