¿Cuál es la dimensión de este Grassmannian?

Question

¿Por qué es $2\times 3$ la dimensión de $Gr_2(\mathbb{R}^5)$? ¿y puede uno usar las dimensiones de grupos de Lie para derivar esta dimensión?

Nota: $Gr_2(\mathbb{R}^5)$ denota la Grassmannian de todos $2$-dimensionales subspaces de $\mathbb{R}^5$.

Answer 1

La prueba más sencilla es la siguiente: a $k$ $\mathbb R^n$-avión debe dar un $k \times n$-matriz $M$, por lo tanto, $kn$ variables. Pero esto es solamente único hasta multiplicación por inversible $k \times k$-matrices, por lo que debe restar el $k^2$. Por lo tanto, la dimensión es $kn-k^2=k(n-k)$. En tu caso, es $2 \cdot (5-2)=2 \cdot 3$.

Answer 2

Deje $V$ ser un verdadero finito dimensional espacio vectorial y elegir en base a $(e_i)_{i=1}^n$$V$. Dado $I \subseteq \{1, \ldots, n\}$, denotan por $J$ el conjunto $J = \{1, \ldots, n\} \setminus I$ y establezca $V_I = \mathrm{span} \{ e_i \}_{i \in I} \subseteq V$. Una manera de dar a $\mathrm{Gr}_k(V)$ la estructura de un liso o topológico colector es cubrirlo con (qué será) cuadros de $\phi_I \colon \mathrm{GL}(V_I,V_J) \rightarrow \mathrm{Gr}_k(V)$ definido por $$ \varphi_I(L) = \mathrm{graph}(L) = \{ v + L(v) \, | \, v \in V_I \} \subseteq V $$ donde $I$ es un subconjunto de cardinalidad $k$.

Como $\dim GL(V_I,V_J) = k(n-k)$, esto muestra que $\dim \mathrm{Gr}_k(V) = k(n-k)$. Uno puede utilizar el conjunto de la teoría de los mapas de $\varphi_I$ a definir la topología y suave estructura de $\mathrm{Gr}_I(V)$ o utilizar un método diferente para dotar $\mathrm{Gr}_I(V)$ con una topología y suave estructura (tales como la interpretación de $\mathrm{Gr}_I(V)$ como el cociente del espacio) y, a continuación, mostrar que, de hecho, los mapas de $\varphi_I$ son gráficos.

Answer 3

Supongo por $Gr_2(\mathbb{R}^5)$ te refieres a Grassmannian de 2 aviones en $\mathbb{R}^5$. Mediante la introducción de un producto interno en $\mathbb{R}^5$ puede pasar a Marcos ortogonales y deducir el isomorfismo $Gr_2(\mathbb{R}^5)\simeq O(5)/(O(2)\times O(3))$, de la que obtendrá la respuesta.