Singularidad de pequeños cardenales en AD

Question

Parece ser un buen folclore resultado que en virtud de ANUNCIOS sabemos que los pequeños de bien solicitar cardenales (para mis propósitos, me refiero a que por debajo de $\omega_\omega$) son regulares, es decir, sólo $\omega,\omega_1,\omega_2$. Mi pregunta se refiere a las pruebas de estos resultados:

¿Dónde puedo encontrar la prueba de que en virtud de ANUNCIOS sólo los mencionados cardenales son regulares?

Recuerdo que $\omega_1$ es regular gracias contables opción para los reales, y supongo que la regularidad de $\omega_2$ podría seguir de medición, pero estoy más interesado en una prueba de la singularidad de todos los grandes cardenales hasta el $\omega_\omega$.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una prueba se puede encontrar en Kanamori el libro de La más infinita. El resultado se sigue de trabajo de Solovay en la teoría de uniforme indiscernibles y la obra de Martin en las escalas. Mira las secciones 14, 28, y 30 del libro.

Un enfoque diferente (utilizando el infinito propiedades de la partición de $\omega_1$$\omega_2$, a sí mismos debido a Solovay y Martin) , es debido a Kleinberg, y los detalles se pueden encontrar en su libro Infinitary la combinatoria y el axioma de determinateness. Para los modernos extensiones de Kleinberg resultados, ver aquí.

Una relacionada con el problema abierto (probablemente debido a Steve Jackson): en Virtud de la determinación, es cierto que la cofinality función no decreciente cuando se limita a doble sucesor cardenales por debajo de $\Theta$?

(La respuesta es obviamente negativa si no restringimos nuestra atención a sucesor de los cardenales. Es negativo así si no restringir aún más el doble de sucesores. Por ejemplo, $\aleph_{\omega 2 +1}$ es regular, mientras que $\aleph_{\omega 2 +2}$ ha cofinality $\aleph_{\omega+1}$. Una prueba de la conjetura de debajo de $\mathbf\delta^1_5=\aleph_{\omega^{\omega^\omega}+1}$ se puede encontrar en Jackson-Khafizov, Descripciones y cardenales por debajo de $\mathbf\delta^1_5$. Jackson la teoría de las descripciones, puede ser usado para verificar la conjetura por debajo de $\aleph_{\epsilon_0}$, pero con un enfoque diferente sería necesario para el problema general. Gracias a Yizheng Zhu para darse cuenta de la equivocación en mi primera formulación de la pregunta.)