Función generadora de la representación simétrica de la potencia

Question

Dejemos que $\rho:G\rightarrow GL(V)$ sea una representación compleja. Para cada $n$ , dejemos que $\chi_{\text{Sym}^n}$ sea el carácter de la n-ésima potencia simétrica de $V$ . Demostrar para cada $g\in G$ , $$\sum_{i=0}^\infty \chi_{\text{Sym}^n}(g)t^n=\frac{1}{\det(I-t\rho(g))}$$ . Encuentro el teorema de Molien, pero hay una suma en el lado derecho.

Answer 1

Dejemos que $\lambda_1, \cdots, \lambda_m$ sean los valores propios de $\rho(g)$ y $h_i$ el $i$ -polinomio simétrico homogéneo completo de $\lambda_1, \cdots, \lambda_m$ . Entonces $\chi_{\text{Sym}^n(g)}=h_n$ y

\begin {align*} \frac {1}{ \det (I-t \rho (g))}&= \frac {1}{ \prod_ {i=1}^m(1-t \lambda_i )} \\ &= \prod_ {i=1}^m(1+t \lambda_i +t^2 \lambda_i ^2+ \cdots ) \\ &=1+h_1t+h_2t^2+ \cdots\\ &=1+ \chi_ { \text {Sym}(g)}t+ \chi_ { \text {Sym}^2(g)}t^2+ \cdots \end {align*}