Cómo probar que $(C[a,b], \|\cdot\|_\infty)$ no es un reflexivo espacio de Banach

Question

La línea de la etiqueta, básicamente, lo dice todo...esta es una pregunta en Luenberger Optimización del libro (5.14.4 en la p.138). Claramente yo no esperaba a alguien para entregar una prueba plena si es tedioso, pero un boceto o teorema o táctica sería de ayuda...he intentado:

1. la caracterización de la doble vertiente de la $BV[a,b].$

2. encontrar una secuencia $\{f_n\}$ de funciones continuas sin débilmente convergente larga.

3. El uso de la de Hahn-Banach teorema de extender funcional en $BV[a,b]$.

Alguna ayuda? Gracias!

Answer 1

El doble de $C = C[a,b]$ es el % de espacio de Banach $\mathcal {M}$de medidas de Borel finitas en $[a,b].$ $C$ es separables (polinomios con coeficientes racionales), pero no es $\mathcal {M}$ ($\delta_{t}, t \in [a,b]$ considerar). Hay un teorema en algún lugar que dice que si $Y$ es nonseparable, también lo es $Y^.$ si usamos este teorema, hemos terminado. Pero podemos mostrar $\mathcal {M}^$ es nonseparable sin este teorema: $t\in [a,b],$ definir $\varphit(\mu) = \int{[a,t]}d\mu.$ entonces cada $\varphi_t \in \mathcal {M} ^*.$ si $a\le s