Distribución de formas de triángulos de Delaunay

Question

¿Alguien sabe de la distribución de probabilidad de las formas de triángulos de Delaunay en una constante de la intensidad del proceso de Poisson en el plano?

Un poco más tarde edita: Uno puede imaginar a realizar el experimento repetidas veces y mirando el triángulo que rodea el origen, y preguntar, por ejemplo, con qué frecuencia va a ser obtuso; o uno puede imaginar hacerlo sólo una vez y mirar la infinidad de triángulos y preguntar ¿qué proporción de ellos son obtusos. Uno podría (o al menos yo lo haría) inicialmente supongo que las dos respuestas son las mismas (y lo mismo para otros conjuntos de formas además el conjunto de todos los triángulos obtusos). Una complicación en la comprobación de que sería que las formas de la infinidad de triángulos que uno obtiene haciendo el experimento una vez que no son mutuamente independientes.

Answer 1

Como el papel es bastante largo y, a veces, técnicos, aquí está el quid de la cuestión el cálculo:

Asumiendo que hemos tratado de alguna manera con la extensión infinita del plano y el resultado de la unnormalizability de las distribuciones más "todas las configuraciones posibles" (el trabajo), podemos decir que la "distribución" de la relación de las configuraciones de $3$ puntos $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$ es uniforme con respecto al elemento de volumen en las cuatro dimensiones del espacio de coordenadas Cartesianas diferencias $(\Delta x_2,\Delta y_2,\Delta x_3,\Delta y_3)=(x_2-x_1,y_2-y_1,x_3-x_1,y_3-y_1)$. A continuación, podemos transformar a la "circumdisk representación" $(x_i,y_i)=(x_0,y_0)+R(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$, donde el circumcentre $(x_0,y_0)$ cancela en la coordenada diferencias, y calcular la Jacobi determinante:

$$ \begin{eqnarray} \left| \frac{\partial(\Delta x_2,\Delta y_2,\Delta x_3,\Delta y_3)}{\partial(R,\theta_1,\theta_2,\theta_3)} \right| &=& \left| \begin{array}{cccc} \cos\theta_2-\cos\theta_1&R\sin\theta_1&-R\sin\theta_2&0\\ \sin\theta_2-\sin\theta_1&-R\cos\theta_1&R\cos\theta_2&0\\ \cos\theta_3-\cos\theta_1&R\sin\theta_1&0&-R\sin\theta_3\\ \sin\theta_3-\sin\theta_1&-R\cos\theta_1&0&R\cos\theta_3\\ \end{array} \right| \\ &=& R^3\left(\sin(\theta_1-\theta_2)+\sin(\theta_2-\theta_3)\sin(\theta_3-\theta_1)\right)\\ &=&\pm4R^3\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\;, \end{eqnarray} $$

donde $\alpha,\beta,\gamma$ son los ángulos del triángulo formado por los tres puntos. Así, la "distribución" factorizes en radial y angular partes. Como Michael señaló en un comentario debajo de la respuesta en MO, la parte angular es proporcional a la relación entre el área de un triángulo el área de la circunferencia circunscrita, por lo que el más de su circunferencia circunscrita que ocupa, más probable es que un triángulo es aparecer.

Tenga en cuenta que esto es todo sobre la generalidad de los triángulos y no se refieren a los triángulos de Delaunay sin embargo, así por ejemplo, si consideramos todos los triángulos con circumradii en un cierto rango, sus ángulos son distribuidos de acuerdo a la $\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$. Dado un triángulo formado por tres puntos es un Delaunay triángulo iff su circunferencia circunscrita no contiene otros puntos, la distribución de los triángulos de Delaunay es proporcional al resultado anterior de veces el factor exponencial $\exp (-\pi\rho R^2)$ ($\rho$la intensidad del proceso de Poisson) para dar cuenta de la probabilidad de la circunferencia circunscrita vacías.

Por cierto, si seguimos Michael primera receta y tener en cuenta la distribución para el triángulo que rodea el origen, tenemos que multiplicar por el mismo factor de área, de nuevo, por lo que la distribución angular en este caso es proporcional a $\sin^2\alpha\,\,\sin^2\beta\,\,\sin^2\gamma$.

Answer 2

Ya que nadie responde aquí, he publicado esta pregunta a mathoverflow, donde Igor Rivin publicado esta respuesta, que me "aceptado":

Consulte este artículo de R. E. Millas (él tiene un montón de resultados relacionados para los puntos de la esfera, etc, etc, mathscinet diré más). Los resultados que desea en la sección 9 (p. 112, y apróximadamente). (el papel es: En la homogeneidad de las planas de Poisson punto del proceso, R. E. Millas, Matemática Biosciences 6 (1970).

Answer 3

Echa un vistazo en el capítulo correspondiente de "espacial teselaciones «por Okabe et al. Dan funciones de distribución explícita para un par de ángulos de un triángulo al azar en una teselación Delaunay de Poisson, y también es un diagrama de bell, que la distribución de formas y sus frecuencias.

Si no tienes el libro, creo que la función de distribución también aparece en el libro "La espera extremos en la triangulación de Delaunay" - Eppstein et al.