Evaluar $ \int_ {-1}^1 \frac { \sin (x)}{ \arcsin (x)}dx$

Question

Evaluar $$ \int_ {-1}^1 \frac { \sin (x)}{ \arcsin (x)} \, dx$$

Desde $ \frac { \sin (x)}{ \arcsin (x)}$ es una función uniforme, mi primer paso fue simplificarla:

$$2 \int_0 ^1 \frac { \sin (x)}{ \arcsin (x)} \, dx$$

Y después de probar el IBP, me di cuenta rápidamente de que la integral indefinida no es elemental como lo verifica Wolfram-Alpha. El método habitual que utilizo para continuar para este tipo de problemas es diferenciando bajo el signo de la integral, sin embargo no veo cómo podría ayudar aquí.

Mi única otra idea es que usar la integración de contorno podría ayudar, pero no soy muy bueno en ello y no puedo usarlo muy bien.

Answer 1

Bueno, tu integral es igual a

$$ \begin {eqnarray*} 2 \int_ {0}^{ \pi /2} \frac { \sin\sin\theta\cos\theta }{ \theta }\,d \theta &=&4 \sum_ {m \geq 0}J_{2m+1}(1) \int_ {0}^{ \pi /2} \frac { \sin ((2m+1) \theta ) \cos\theta }{ \theta }\,d \theta\\ &=&2 \sum_ {m \geq 0}J_{2m+1}(1) \left [ \text {Si}(m \pi )+ \text {Si}((m+1) \pi ) \right ] \end {eqnarray*}$$ que es una serie rápidamente convergente que involucra las funciones de Bessel del primer tipo y la función integral sinusoidal $ \text {Si}(s)= \int_ {0}^{s} \frac { \sin u}{u}\,du = \frac { \pi }{2}+O \left ( \frac {1}{s} \right )$ . No apostaría por la existencia de una representación más simple.