Usando el teorema de Vieta para ecuaciones cúbicas para derivar el discriminante cúbico

Question

Antecedentes:

El Teorema de Vieta para ecuaciones cúbicas dice que si una ecuación cúbica $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ tiene tres raíces diferentes $x_1, x_2, x_3$ entonces

$$\begin{eqnarray*} -p &=& x_1 + x_2 + x_3 \\ q &=& x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 \\ -r &=& x_1x_2x_3 \end{eqnarray*}$$

El ejercicio es:

Una ecuación cúbica $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ tiene tres raíces diferentes $x_1, x_2, x_3$ . Encuentre $(x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_1 - x_3)^2$ como una expresión que contiene $p, q, r$ .

Alerta de spoiler: la respuesta es $-4p^3r - 4q^3 + p^2q - 27r^2 - 18pqr$ .

Mi pregunta es: ¿cómo voy a encontrar eso sin usar un ordenador?

Answer 1

La forma tediosa es ampliar $(x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_1 - x_3)^2$ completamente y luego escribirlo en términos de $x_1 + x_2 + x_3$ y así sucesivamente. Se le garantiza que esto es posible gracias a la teorema fundamental de los polinomios simétricos cuya prueba da incluso un algoritmo para hacer esto, pero es un dolor para hacer a mano (aunque no es un mal ejercicio de manipulación algebraica).

Una forma menos tediosa es argumentar lo siguiente. Primero trabajaremos bajo el supuesto de que $p = 0$ . Ahora, $q, r$ son polinomios de grados $2, 3$ y el discriminante es un polinomio de grado $6$ por lo que el discriminante debe ser una combinación lineal de los dos monomios $q^3, r^2$ . Por lo tanto, podemos escribir $$\Delta = a q^3 + b r^2$$

para dos constantes $a, b$ , donde $\Delta$ es el discriminante. Ajuste $q = -1, r = 0$ obtenemos el polinomio $x^3 - x = 0$ con raíces $0, 1, -1$ . Calculamos que el discriminante es igual a $4$ de lo que se deduce que $a = -4$ .

Configuración $q = 0, r = -1$ obtenemos el polinomio $x^3 - 1 = 0$ con raíces $1, \omega, \omega^2$ donde $\omega$ es una raíz tercera primitiva de la unidad. Utilizando la identidad $$(\omega - 1)^2 = \omega^2 - 2 \omega + 1 = - 3 \omega$$

calculamos que el discriminante es igual a $-27$ de lo que se deduce que $b = -27$ . Así, $$\Delta = -4 q^3 - 27 r^2.$$

Para pasar de aquí a una elección arbitraria de $x_1, x_2, x_3$ , aplique la fórmula anterior al polinomio con raíces $x_1 - \frac{p}{3}, x_2 - \frac{p}{3}, x_3 - \frac{p}{3}$ y observa que restar la misma constante a cada una de las tres raíces no cambia el discriminante.