Dibujar cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo, uniendo los vértices...

Question

Como se muestra en la figura: ABC es un triángulo rectángulo.Primero erigimos cuadrados en sus lados.Luego unimos los vértices consecutivos de los cuadrados y obtenemos 3 triángulos más.Continuamos y erigimos 3 cuadrados en los lados de estos 3 triángulos,unimos los vértices y obtenemos trapezoides y así sucesivamente(siguiente paso erigimos cuadrados en los lados de los trapezoides) He conseguido demostrar que la suma de las áreas de los tres triángulos iniciales es 3 veces el área del triángulo rectángulo.Luego la suma de los trapezoides es 5 veces el área del triángulo rectángulo...Así que mi pregunta es: ¿hay algún patrón detrás de este procedimiento?Posiblemente si continuamos siempre estaremos obteniendo múltiplos del área del triángulo rectángulo.

Answer 1

Permítanme llamar $s$ el área del triángulo original y $a$ , $b$ , $c$ las áreas de los triángulos de "primera generación". Tenemos $s=a=b=c$ porque cualquier triángulo entre $a$ , $b$ , $c$ tiene dos lados de la misma longitud que dos lados de $s$ y el ángulo entre ellos suplementario del ángulo correspondiente en $s$ .

A continuación, puede, por ejemplo, girar $s$ 90° en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del vértice común con $a$ para crear un triángulo más grande con el doble de área. Pero el triángulo $a$ tiene un vértice en común con un cuadrilátero de "segunda generación" (verde en el diagrama de abajo): podemos girar ese triángulo mayor 90° en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del vértice común para crear otro cuadrilátero. Por último, podemos girar $b$ 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del vértice común con el cuadrilátero, para obtener otro cuadrilátero mayor. Este cuadrilátero es un paralelogramo, porque sus lados cortos opuestos tienen la misma longitud que los lados congruentes de $s$ y $b$ mientras que los ángulos adyacentes a estos lados son los mismos que los ángulos correspondientes en $s$ y $b$ y, por tanto, complementaria.

Este paralelogramo tiene una base superior que es cuatro veces la base de $s$ mientras que su altura es la misma que la de $s$ . Su área es entonces $8s$ y si le restamos el área $3s$ de los triángulos adicionales encontramos que el área de un cuadrilátero de segunda generación (que es entonces un trapecio) es $5s$ .

Se puede hacer una construcción similar para un trapecio de tercera generación. No escribiré todos los detalles, pero puedes ver en el diagrama de abajo que dicho trapezoide (naranja) puede completarse en un paralelogramo añadiendo dos trapezoides de segunda generación y seis triángulos. Dicho paralelogramo tiene una base que es cinco veces la base de $a$ y una altura que es cuatro veces mayor que la de $a$ . Su área es entonces $40s$ y restando de ello el área $16s$ de las cifras añadidas obtenemos $24s$ como el área de un trapecio de tercera generación.

Estas construcciones pueden llevarse a cabo para cada $n$ -trapezoide de la generación, pero no está claro cómo derivar de ellos una relación de recurrencia entre sus áreas $S_n$ . Sin embargo, aparentemente, tal recurrencia puede ser fácilmente adivinada para ser $$ S_n=5S_{n-1}-S_{n-2}. $$

EDITAR.

En efecto, es posible obtener una relación recursiva, examinando tres trapecios de generaciones sucesivas (véase el diagrama siguiente). Sea $S_n$ sea el área de un $n$ - trapezoide de la generación anterior, $a_n$ su base más pequeña, $b_n$ su base más larga y $r_n=b_n/a_n$ . El $n$ -el trapecio se puede trasladar por encima de la $n+2$ -para crear un trapecio más grande, porque $a_{n+2}=b_n$ . Por similitud de triángulo se tiene entonces $(b_{n+2}-a_n):(b_n-a_n)=(b_{n+1}+a_{n+1}):a_{n+1}$ De donde: $$ r_{n+2}=\left(1-{1\over r_n}\right)(1+r_{n+1})+{1\over r_n}, $$ una fórmula que permite encontrar recursivamente los valores de $r_n$ dado que $r_2=4$ y $r_3=5$ : $$ r_4=\frac{19}{4},\ r_5=\frac{24}{5},\ r_6=\frac{91}{19}, r_7=\frac{115}{24},\ r_8=\frac{436}{91},\ r_9=\frac{551}{115},\ r_{10}=\frac{2089}{436} $$

De forma similar se puede encontrar una relación para $S_{n+2}$ en términos de $S_n$ : $$ S_{n+2}={r_{n+1}\over1+r_n}(r_n r_{n+1}+2r_n-r_{n+1})S_n, $$ una fórmula que funciona para $n\ge2$ . A partir de $S_2=5$ y $S_3=24$ uno encuentra entonces: $$ S_4=115,\ S_5=551,\ S_6=2640,\ S_7=12649,\ S_8=60605,\ S_9=290376,\ S_{10}=1391275. $$