Director de ideal en $\Bbb{Z}[\sqrt{15}]$

Question

Quiero mostrar que la $(3, \sqrt 15)$ no es un director ideal en el anillo de $ R = \mathbb{Z}[\sqrt{15}]$ norma $N(a + b \sqrt 15) = a^2 - 15b^2$.

Mi intento:

Supongamos $(3, \sqrt 15) = (x) $

A continuación, $3 = x * r1$ y $\sqrt 15 = x * r2$ , $r1,r2 \in R$.

$N(3) = 9 = N(x) N(r1)$ $N(\sqrt 15) = -15 = N(x)N(r2)$ $N(x) = 3$ -3 o o 1 o -1.

Cualquier idea sobre cómo continuar? Gracias.

Answer 1

Si la norma de $x$ $\pm1$ $x$ es una unidad.

Si la norma de $x$$\pm3$, se obtiene una contradicción de trabajo modulo $5$.