¿Es cierta la afirmación?
Hay un $3\times 3 $ matriz ortogonal real con todas las entradas distintas de cero.
por ortogonalidad, $AA^T=A^TA=I_3$ por favor, dame una pista
El enlace que menciona en su respuesta no funciona.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Gordon Pall encontró todas las matrices ortogonales racionales, de 3 en 3, en 1940, véase PALL_PDF
Dado un número impar $$ n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2,$$ la matriz $$ \frac{1}{n} \begin{pmatrix} a^2 + b^2 - c^2 - d^2 & 2(-ad+bc) & 2(ac+bd) \\ 2(ad+bc) & a^2 - b^2 + c^2 - d^2 & 2(-ab+cd) \\ 2(-ac+bd) & 2(ab+cd) & a^2 - b^2 - c^2 + d^2 \end{pmatrix}$$ es ortogonal, y todas las matrices ortogonales racionales se pueden escribir de esta manera. Esta es la fórmula (10) en la página 755 del artículo de Pall, la segunda página del pdf.
Correcto, así que no quieres ceros en la matriz. Tomemos, por ejemplo, $d=0,$ y distinto de cero $a,b,c$ que no forman un triple pitagórico en ningún orden. Bastaría con añadir la condición $c^2 \geq 1 + a^2 + b^2.$
GmonC
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Claro que la hay. Elija un vector con entradas distintas de cero, digamos $(1,1,1)$ y elegir otra que sea ortogonal a ella, y que ninguna de las tres $2\times2$ menores que definen desaparece, digamos $(1,2,-3)$ . Ahora tomamos su producto cruzado para encontrar un tercer vector ortogonal a los dos primeros, y que no tiene entradas nulas por suposición; en este caso es $(-5,4,1)$ . Ahora normalice todo (divida por raíces cuadradas de $3,14,42$ respectivamente) y ponga los resultados como columnas de su matriz $A$ .
A primera vista me preguntaba por qué tenemos que elegir el segundo vector de tal manera que ninguno de los tres menores que definen desaparece ... Entonces me di cuenta, mientras que el cálculo de la tercera columna que si algún menor es cero, entonces la entrada correspondiente en el producto cruzado es cero ... Esta es una respuesta maravillosa .. Yo habría aceptado esta respuesta .. Muy natural.
Calvin Lin
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Casi todos los vectores unitarios tienen una entrada distinta de cero. Casi todo lo que intentes debería funcionar. Por ejemplo, si $A=(a, b, c)$ es un vector de longitud 1 con $a\neq -1$ puede comprobar que
$$ \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & \frac {b^2-a-1}{a+1} & \frac {bc}{a+1} \\ c & \frac {bc}{a+1} & \frac {c^2-a-1}{a+1} \end{pmatrix}$$
describe un conjunto ortonormal. Es la reflexión de todos los vectores unitarios estándar a través de la recta $e_1 +A$ .
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Considere ${1\over 3}\left[\matrix{1&-2&2\cr 2&-1&-2\cr 2&2&1}\right]$ . O bien, considere las rotaciones apropiadas de los vectores unitarios estándar en $\Bbb R^3$ . O bien, tome dos vectores ortonormales en un plano que no sea perpendicular a ningún eje de coordenadas y extiéndalos a una base ortonormal de $\Bbb R^3$ .