Dado un anillo con unidad y un elemento central idempotente e, demuestre algunas relaciones isomorfas

Question

Dado un anillo $R$ con 1 $\neq$ 0, y un elemento $e$ que es idempotente y central en $R$ Quiero demostrar que $R/Re \cong R(1-e)$ , $R/R(1-e)\cong Re$ y posteriormente, $R\cong Re\times R(1-e)$ . Mi intuición me lleva a los teoremas de isomorfismo, y el último debería deducirse del teorema chino del resto, pero no sé cómo conectar los puntos.

Answer 1

Puede demostrar directamente que $R\cong Re\times R(1-e)$ . El mapa natural funciona:

Sea $f=1-e$ . Entonces $e+f=1$ y $ef=0=fe$ . Considere $\phi: R\to Re\times R(1-e)$ dada por $\phi(x)=(xe,xf)$ . es fácil ver que $\phi$ es inyectiva. Para demostrar que es suryectiva, demuestre que $\phi(ye+zf)=(ye,zf)$ .

Answer 2

Tus ideas son exactamente correctas.

En primer lugar, tenga en cuenta que $e$ es central, $Re$ y $R(1-e)$ son ideales de dos caras. Dado que $1\in Re+R(1-e)$ .

Para demostrar que $R/Re \cong R(1-e)$ Obsérvese que $\varphi(x)=x(1-e)$ es un homomorfismo de anillos (ya que $\varphi(xy)=x(1-e)y(1-e)=xy(1-e)$ ). Obsérvese que $Re \subset \ker \varphi$ desde $\varphi(xe)=xe(1-e)=x(e-e)=x0=0$ . Entonces queremos utilizar el primer teorema de isomorfismo (ya que $\varphi$ es claramente suryectiva), por lo que sólo necesitamos $\ker\varphi= Re$ . Supongamos que $x\in\ker\varphi$ entonces $x(1-e)=0$ o $x-xe=0$ pero entonces $x=xe$ Así que $x\in Re$ . Por lo tanto $\ker\varphi=Re$ y por el primer teorema de isomorfismo $R/Re\cong R(1-e)$ . La otra prueba es idéntica.

Ahora sólo nos falta la última declaración. Observa que queremos que la intersección de los ideales sea trivial para utilizar el teorema chino del resto y obtener lo que queremos. Para ver esto, observa que multiplicando por $e$ es la identidad en $Re$ desde $e$ es idempotente, sin embargo $x(1-e)e=x(e-e)=x0=0$ por lo que ningún elemento de $R(1-e)$ puede estar en $Re$ excepto 0. Por tanto, la intersección es trivial. También tenemos $Re+R(1-e)=R$ así que por el teorema chino del resto $R\cong R/(0)=R/(I\cap J) \cong R/Re \times R/R(1-e)\cong R(1-e)\times Re$ .