Pregunta del ejercicio del Teorema Central del Límite

Question

Dejemos que $ (X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sean variables aleatorias i.d.d. con $E{X_1}=0$ , $Var(X_1)=1$ y $ S_n = X_1 + X_2 +...+ X_n $ . Calcular $ \lim_{n \to +\infty}\Pr(S_n>\sqrt{n})$ .

En la página posterior, tiene como solución que el límite sea igual a $\frac{1}{2}$ pero no puedo entender por qué.

Lo que he hecho es utilizar el teorema del límite central para poder demostrar que $\frac{S_n -nE(X_1)}{\sqrt{nVar(x_1)}} = \frac{S_n}{\sqrt{n}}$ converge a $ Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ .

Entonces, $ \Pr(\frac{S_n}{\sqrt{n}}>1) $ converge a $\Pr(Z>1) = (-1)$ donde la función de distribución acumulativa ¿Hay algún fallo en mi solución que no pueda ver?

Answer 1

Lo que dices parece sensato.

Aquí hay un código R para probar la pregunta empíricamente:

set.seed(1)
n <- 1000
cases <- 10000
exampledata <- matrix(rnorm(n*cases, mean=0, sd=1), ncol=n)
Sn <- rowSums(exampledata)
mean(Sn > sqrt(n))

y esto da 0.1587 mientras que $\Phi(-1) \approx 0.158655$ más cerca de lo que podría esperarse razonablemente.