evaluación de $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n}\cdot \ln \binom{2n}{n}$

Question

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n}\cdot \ln \binom{2n}{n} = $

$\underline{\bf{My\;\;Try}}::$ Deje $\displaystyle y = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n}\cdot \ln \binom{2n}{n} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n}\cdot \ln \left(\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)\cdot............\cdot (n+n)}{(1)\cdot (2)\cdot (3).........\cdot (n)}\right)$

$\displaystyle y = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n}\cdot \left\{\ln \left(\frac{n+1}{1}\right)+\ln \left(\frac{n+2}{2}\right)+\ln \left(\frac{n+3}{3}\right)+..............+\ln \left(\frac{n+n}{n}\right)\right\}$

$\displaystyle y = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n}\cdot \sum_{r=1}^{n}\ln \left(\frac{n+r}{r}\right) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n}\cdot \sum_{r=1}^{n}\ln \left(\frac{1+\frac{r}{n}}{\frac{r}{n}}\right)$

Ahora, Utilizando Reinman Suma

$\displaystyle y = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln (x+1)dx-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln (x)dx = \ln (2)$

Mi Pregunta es , Es que no hay ningún otro método, a continuación, que como Striling Aproximación O Stolz–Cesàro teorema O Prueba de razón de

Si sí, por favor explique aquí

Gracias

Answer 1

Aviso de $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k} = 2^{2n}$ $\displaystyle \binom{2n}{n} \ge \binom{2n}{k}$ todos los $0 \le k \le 2n$, tenemos

$$ \frac{2^{2n}}{2n+1}\le \binom{2n}{n} \le 2^{2n} \quad\implica\quad \log 2 - \frac{\log{(2n+1)}}{2n} \le \frac{1}{2n} \log \binom{2n}{n} \le \log 2$$ Desde $\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\log(2n+1)}{2n} = 0\quad$, llegamos $\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty} \log \binom{2n}{n} = \log 2$.

Answer 2

Al lado de la elegante demostración dada por achille hui, creo que la manera más sencilla de resolver este problema es utilizar la aproximación de Stirling.

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En primer orden, a Stirling aproximación es $n! = \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n$. Es muy bueno. Eche un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation. Tienen una página muy buena para eso. Seguro, usted necesita para expresar el coeficiente binomial como la relación de los factoriales. Intente y usted se sorprenderá al ver lo sencillo se convierte en su problema.