Se muestra aquí sin utilizar el cálculo estocástico, que si $W_t$ es un movimiento browniano estándar, entonces $$ f(W_t)-\frac{1}{2}\int_0^t f''(W_s)ds $$ es una martingala, donde $f\in C^2$ y con un soporte compacto. Según el problema 4.4 del capítulo 5 de la obra de Karatzas y Shreve Movimiento browniano y cálculo estocástico La inversa también es válida. Es decir, si $W$ es un proceso continuo adaptado con $W_0=0$ tal que $$ f(W_t)-\frac{1}{2}\int_0^t f''(W_s)ds\tag{1} $$ es una martingala siempre que $f\in C^2$ y con soporte compacto, entonces $W$ es un movimiento browniano estándar. Esto es esencialmente parte de la prueba de la caracterización de Lévy del movimiento browniano.
Respuestas
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user36150
Puntos
8
Paso 1:
La suposición es válida para todos los $f \in C_b^2$ es decir, funciones doblemente diferenciables y con derivadas continuas acotadas.
Para ello, elige una función $\chi \in C^2_b$ tal que $0 \leq \chi \leq 1$ , $\chi(x) = 1$ para $x \in (-1,1)$ y $\chi(x)=0$ para todos $|x|>2$ . Entonces la función
$$f_n(x) := f(x) \cdot \chi \left( \frac{x}{n} \right), \qquad x \in \mathbb{R}, \tag{1}$$
es dos veces diferenciable y tiene soporte compacto. Por suposición,
$$\mathbb{E} \left( f_n(W_t) - \frac{1}{2} \int_0^t f_n''(W_r) \, dr \mid \mathcal{F}_s \right) = f_n(W_s) - \frac{1}{2} \int_0^s f_n''(W_r) \, dr$$
para todos $s \leq t$ . Definición $(1)$ implica que $$\|f_n\|_{\infty}+ \|f_n'\|_{\infty} + \|f_n''\|_{\infty} \leq C$$ para alguna constante $C>0$ (que no depende de $n$ ). Por lo tanto, se deduce de la continuidad de $f,f''$ y el teorema de convergencia dominada (condicional) que
$$\mathbb{E} \left( f(W_t) - \frac{1}{2} \int_0^t f''(W_r) \, dr \mid \mathcal{F}_s \right) = f(W_s) - \frac{1}{2} \int_0^s f''(W_r) \, dr.$$
Paso 2:
$(W_t)_{t \geq 0}$ es un movimiento browniano.
La afirmación se demuestra en esta respuesta (nótese que, en el primer paso, se cumplen los supuestos de la pregunta vinculada). No dudes en preguntar si no te llevas bien con él (la notación es un poco diferente allí).
Una martingala se caracteriza por su función característica.
- aplicar la propiedad con $f(x) = x$ demuestra que $W$ es una martingala
- arreglar $u$ y aplicar con $f(x) = \exp(iux)$ definir $g(u, t) = \mathrm E(\exp(iuW_t)); M(t) = f(W_t) - \frac 12\int_0^t f''(W_s) ds$ y se obtiene $$ 1 = M(0) = \mathrm EM(t) = g(u,t) + \frac 12 u^2\int_o^t g(u, s) ds $$
cuya solución es $$ g(u, t) = \exp\left(-\frac 12 u^2 t\right) $$
De esto se desprende que $W$ es un movimiento browniano.
