Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad y deje $M$ $R$- en el módulo de $1\cdot m = m$ todos los $m\in M$). Deje $f:M\twoheadrightarrow M$ ser un surjective de morfismos de $R$-módulos de $M$ sobre sí mismo. Entonces, como consecuencia del lema de Zorn, se puede construir un mapa de $g$ tal que $f\circ g = \mbox{id}_M$.
De lo anterior se sigue que el $g$ es también una de morfismos de $R$-módulos? O puede uno por menos construt uno de esos $g$ que es una de morfismos?
Gracias!
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Yo debería haber hecho más claro lo que estoy buscando. Así que hay 2 preguntas:
- 1) No $f\circ g=\mbox{id}_M$ (como conjunto de mapas) implica que $g$ es una de morfismos?
- 2) ¿hay un morfismos $g:M\rightarrow M$ tal que $f\circ g = \mbox{id}_M$?
1) parece raro para mí ahora, como debemos tener $g(0)=0$ si $g$ es una de morfismos. Pero en la construcción de $g$ usando el lema de Zorn, uno podría optar $g(0)$ a cualquier elemento de $\mbox{ker}(f)$ y todavía tiene $f\circ g=\mbox{id}_M$...
Estoy muy interesado en una respuesta a 2) sin embargo...
