Es

Question

Es cierto que:

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}2^{-k(n-k)} = 0 \;?$$

Parece cierto numéricamente, pero, ¿cómo puede este límite se muestra?

Answer 1

Tenga en cuenta que $(n-k)$ al menos $n/2$ $k$ entre 1 y $n/2$. Entonces, mirando a la suma hasta el $n/2$ y la duplicación de los límites de lo que tiene encima por algo como:

$$\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}2^{-kn/2}=\left(1+2^{-n/2}\right)^n-2^{-n/2}-1$$

que delimita su suma por encima y se va a cero.

Como alternativa, utilice el obligado

$$\binom{n}{k}\leq \frac{n^k}{k!}\;.$$

Ya que la suma es simétrica alrededor de $k=n/2$, el trabajo con la suma de hasta $n/2$. A continuación,$n^k2^{-k(n-k)}=2^{k(\log_2 n-n+k)}$. Para $k$ entre 1 y $n/2$ y para un gran $n$ este escalas de algo como $2^{-kn/2}$, que cuando se acumulan a partir de la 1 a $n/2$ $k$ tenderá a 0 $n\rightarrow\infty$.