Integrales estocásticas y nuevas medidas de probabilidad

Question

Sea $B$ sea un movimiento browniano estándar en $(\Omega, \mathcal{F}, P, ({\mathcal{F}_t})_{t\ge0})$ donde la filtración es la generada por $B$ . Fijar un intervalo de tiempo $[0,T]$ . Definir el proceso $X$ como solución de la SDE $$ \mathrm dX_t = \sigma X_t\,\mathrm dB_t,\quad X_0 = 1. $$

Definir, para cada número real $\alpha$ una medida $P_{\alpha}$ tal que $X$ en $P_{\alpha}$ resuelve la ecuación $$ \mathrm dX_t = \alpha X_t\,\mathrm dt + \sigma X_t\,\mathrm dB^{\alpha}, $$

donde $B^{\alpha}$ es un movimiento browniano bajo $P_{\alpha}$ . Dé una expresión explícita para la derivada de Radon-Nikodym (proceso de verosimilitud) $$ L^{\alpha} = \frac{\mathrm dP_{\alpha}}{\mathrm dP_0}, $$ sur $\mathcal{F}_t$ .

Esta es la cuestión. Y supongo que hay que usar la fórmula Itô. Pero me ha costado entender la pregunta. Agradecería cualquier orientación sobre cómo podría pensar y por dónde debería empezar.

(Este es mi primer post en este sitio y también la primera vez que uso TeX, así que puede que no se vea muy bien, ¡espero que lo entiendas de todos modos!)

Answer 1

Tienes la solución explícita

$$X_t=\exp{(\sigma B_t -\frac{1}{2}\sigma^2 t)}$$

que es una martingala (¡importante!). Supongo que se quiere decir que $B^0=B$ y $P^0$ ¿es la medida original? En realidad, lo que estás haciendo es ir "hacia atrás" en el modelo BS. Allí se empieza con algo como $dX_t=\alpha X_tdt+\sigma X_t dB^\alpha_t$ y quieres deshacerte del término deriva.

Defina $$L^\alpha=\frac{dP^\alpha}{dP^0}:=\mathcal{E}(-\int\frac{\alpha}{\sigma}dB)$$ donde $\mathcal{E}(X):=\exp{(X_t-\frac{1}{2}\langle X \rangle_t)}$ denota la exponencial estocástica. Así que tenemos que verificar que esta densidad hace el trabajo.

Obsérvese en primer lugar que tenemos $L^\alpha >0$ , $L^\alpha$ es una martingala y $E[L^\alpha_T]=1$ por lo que podemos definir una medida de probabilidad equivalente. Lo que sabemos es: $B$ es un $P^0=P$ Movimiento Browniano, tenemos $P^\alpha$ es equivalente a $P$ y la densidad es de la forma $\mathcal{E}(\int b_s dW_s)$ donde $b_s=\frac{\alpha}{\sigma}$ que no depende de $s$ . Entonces el Teorema de Girsanov nos dice que $B=B^\alpha + \int\frac{\alpha}{\sigma}$ para un movimiento browniano $B^\alpha$ en $P^\alpha$ es decir $dB=dB^\alpha +\frac{\alpha}{\sigma}dt$ . Si introducimos esto en la SDE original, obtenemos $P^\alpha$ :

$$dX_t=\sigma X_t d(B^\alpha_t+\frac{\alpha}{\sigma}dt)=\alpha X_tdt+\sigma X_t dB^\alpha_t$$

que es exactamente el resultado deseado.

Nota: Estoy aprendiendo sobre este tema, ¡así que por favor sea crítico! Saludos

matemáticas