Actualmente estoy trabajando a través de Martin de Brandenburgo, la Einführung in die Kategorientheorie (Introducción a la Categoría de Teoría), pero se quedó atascado en la segunda parte de el siguiente ejercicio:
Ejercicio 6.15. Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría y deje $S \in \mathcal{C}$ ser un objeto. Muestran que una fibra de producto a través de $S$ es la misma como un producto de la sobre-$S$categoría $\mathcal{C}/S$. La conclusión con la ayuda de Ejercicio 6.9: Si $\mathcal{C}$ es completa, a continuación, $\mathcal{C}/S$ también está completo.
El ejercicio anterior:
Ejercicio 6.9. Deje $f, g \colon X \to Y$ ser morfismos en una categoría que tiene productos de fibra y binario productos. Construir el ecualizador de $f, g$ como adecuado de fibra de producto $X \times_{(f,g), Y \times Y, \Delta_Y} Y$.
(Traducido del alemán por mí, el texto original se encuentra en la búsqueda de Libros de Google.)
Pregunta: ¿Cómo podemos concluir que $\mathcal{C}/S$ es completa?
Mis pensamientos hasta el momento:
Se desprende de la primera parte de que 6.15 $\mathcal{C}/S$ ha arbitraria productos (debido a $\mathcal{C}$ ha arbitraria productos de fibra), por lo que sufficies para mostrar que $\mathcal{C}/S$ ha binario ecualizadores. Por 6.9 esto se seguiría de la existencia de binario productos de fibra.
Para mostrar esto he intentado utilizar el 6.9 por segunda vez: $\mathcal{C}/S$ ha binario de productos de fibra si $(\mathcal{C}/S)/T$ ha binario de productos para cada $T \in \mathcal{C}/S$. Pero no veo cómo esto se deduce de la anterior; inicialmente se espera que ese $(\mathcal{C}/S)/T$ es equivalente a $\mathcal{C}/T'$ algunos $T' \in \mathcal{C}$ o algunos $\mathcal{C}$valores functor categoría, pero este no parece ser el caso (por lo que puedo decir).
Uno puede demostrar la existencia de binario productos de fibra en $\mathcal{C}/S$ (o incluso límites arbitrarios) por lado, de manera similar a cómo se elaboran los productos en $\mathcal{C}/S$ a partir de productos de fibra en $\mathcal{C}$. (Este es el enfoque adoptado en esta pregunta.) Pero esto no parece ser lo que el ejercicio es el objetivo para el.
