Producto de $T_1$ espacios es $T_1$

Question

Intento demostrar que el producto de $T_1$ espacios es también $T_1$ . Aquí hay una prueba, ¿es correcta?

$\{ X_i \}_{i \in I}$ son T ₁ $\Rightarrow$ $\prod_{i \in I} X_i$ es T ₁

Prueba: Dejemos que $\bar{x} = ( x_i ) \neq \bar{y} = (y_i) \in \prod_{i \in I} X_i$

Hay un $i_0 \in I$ tal que $x_{i_0} \neq y_{i_0} \in X_{i_0}$

$X_{i_0}$ es T ₁ por lo que existen conjuntos abiertos $U_0,V_0 \subseteq X_{i_0}$ tal que $x_{i_0} \in U_0 \setminus V_0$ , $y_{i_0} \in V_0 \setminus U_0$ .

Definir $U,V \subseteq \prod_{i \in I} X_i$ : $$U_j = \begin{cases} X_j, &j \neq i_0 \\ U_0, &j = i_0 \end{cases} \qquad V_j = \begin{cases} X_j, &j \neq i_0 \\ V_0, &j = i_0\end{cases}$$

$U,V$ están abiertas en $\prod_{i \in I}X_i$ por definición, y $\bar{x} \in U \setminus V$ , $\bar{y} \in V \setminus U$ .

( enlace de la imagen original )

Answer 1

En general, para cualquier familia de espacios $(X_i)_{i\in I}$ y cualquier familia de subespacios $A_i\subset X_i$ , $i\in I$ uno tiene $$\overline{\prod_i A_i}=\prod_i \overline{A_i}$$ en particular, el producto de cualquier familia de $T_1$ -espacios es $T_1$ ya que todos los conjuntos de un punto estarán cerrados.