Denso Conjunto y Topología

Question

Deje $D$ ser una densa en $X$. Demostrar que para cada conjunto abierto $U\subseteq X$, $$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}\cl (D \cap U) = \cl(U)$$

Mi solución, lo que hice es mostrar que el $\cl(D \cap U)$ está contenido en $\cl(U)$ y viceversa.

He hecho las $\subseteq$. Tengo problemas en la $\supseteq$ part.

o es su una solución más fácil, donde no necesito el inclusiones?

Answer 1

Fix $x$ un elemento de cierre de $U$, e $V$ un barrio de $x$. Tenemos que mostrar que $D\cap U\cap V$ no está vacío. Deje $y\in V\cap U$ (¿por qué un $y$ existe?). Como $D$ es denso en $X$ $V\cap U$ es un barrio de $y$, utilizando la definición de la clausura...

Answer 2

Debido a $D\cap U\subseteq U$ inmediatamente nos tiene que $\cl(D\cap U)\subseteq\cl(U)$.

La otra inclusión es que si $x\in\cl(U)$, entonces cada entorno abierto $V$ $x$ es tal que $V\cap U\neq\varnothing$. Sin embargo $D$ es densa, por tanto,$D\cap V\neq\varnothing$, así que cada entorno abierto de a $x$ cumple con $D\cap U$. Por lo tanto,$x\in\cl(D\cap U)$.

Por lo tanto, tenemos $\cl(D\cap U)=\cl(U)$.