Permítanme complementar la respuesta de Mathein Boulomenos con algunos argumentos elementales concretos para algunos ejemplos sencillos. En primer lugar, hay que tener en cuenta que si $R=S\times T$ es un producto de dos anillos, entonces cada $R$ -Módulo $M$ es la suma directa de los submódulos $(1,0)M$ y $(0,1)M$ que puede ser considerado como un $S$ -y un $T$ -módulo. En particular, entonces, un producto $R^X$ es la suma directa $S^X\oplus T^X$ . Si $S$ y $T$ son $F$ -anillos, entonces $S^X$ y $T^X$ son libres sobre $S$ y $T$ respectivamente. Mientras $S^X$ y $T^X$ tienen el mismo rango, podemos entonces emparejar las copias de $S$ y $T$ en $S^X$ y $T^X$ para escribir $R^X$ como una suma directa de copias de $R$ y así $R^X$ es libre en $R$ . En particular, si $S$ y $T$ son contables, entonces $S^X$ y $T^X$ siempre tendrá el mismo rango por razones de cardinalidad.
Por lo tanto, un producto de dos contables $F$ -anillos es un $F$ -Anillo. En particular, cualquier producto finito de campos contables es un $F$ -Anillo. (Nótese que la suposición de cardinalidad aquí realmente importa, y por lo tanto describir qué productos de campos son $F$ -implica una teoría de conjuntos no trivial. Por ejemplo, si $S$ es un campo contable y $T$ es un campo cuya cardinalidad satisface $|T|^{\aleph_0}>2^{\aleph_0}$ entonces $T^\mathbb{N}$ tiene mayor rango que $T$ que $S^\mathbb{N}$ tiene más de $S$ y así $R^\mathbb{N}$ es no libre y $R$ no es un $F$ -¡Anillo!)
Consideremos ahora el ejemplo $R=k[x]/(x^2)$ donde $k$ es un campo. Sea $M=R^X$ y elegir una base $B$ para $M/xM=k^X$ en $k$ . Afirmo que cuando levantamos $B$ a un subconjunto $C$ de $M$ obtenemos una base para $M$ en $R$ . En primer lugar, la multiplicación por $x$ da un isomorfismo de $M/xM$ a $xM$ por lo que el submódulo generado por $C$ contiene $xM$ y por lo tanto es todo $M$ desde $B$ genera $M/xM$ . En segundo lugar, la independencia lineal de $B$ significa que cualquier relación lineal entre elementos de $C$ debe tener todos los coeficientes divisibles por $x$ . Dividiendo todos los coeficientes por $x$ y utilizando el isomorfismo $M/xM\cong xM$ se obtendría entonces una relación lineal entre los elementos de $B$ por lo que los coeficientes deben ser realmente $0$ . Así, $C$ es linealmente independiente.
Esta línea de argumentación puede generalizarse para mostrar que cualquier anillo local artiniano es un $F$ -por inducción a la longitud. Sea $R$ sea un anillo local artiniano con ideal máximo $m$ y que $x\in R$ generan un ideal mínimo no nulo. Sea $M=R^X$ , elija una base para $M/mM$ y elevar esa base a $M$ . Por inducción en la longitud, la base levantada es una base para $(R/(x))^X$ en $R/(x)$ . Entonces se puede argumentar como arriba usando el hecho de que la multiplicación por $x$ da un isomorfismo $M/mM\to xM$ que la base levantada es de hecho una base para $M$ en $R$ .
