No existe una caracterización de continuo mapas de $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ con cada punto de $x\in [0,1]$ periódico (es decir, si para cada a $x\in [0,1]$ existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $f^{n}(x)=x$)?
¿Qué pasa con aquellos continua mapas de $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ con cada punto que se periódica y para que el conjunto de todos los períodos de $\{Per(x):\ x\in [0,1]\}$ es limitada?
Respuesta
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Buena pregunta.
Voy a responder a su segunda pregunta primero. Si todos los períodos están delimitadas por $N$, $f^{N!}$ es la identidad. Por lo tanto $f$ es un homeomorphism, como $f^{N!-1}$ es una inversa. En particular, $f$ debe ser monótona.
EDIT: De hecho, esto es, bajo la hipótesis de la pregunta 1 así. Si $f^n(x)=x$$f^m(y)=y$$f^{mn}(x)=x$$f^{mn}(y)=y$. En particular, $f(x)=f(y)$ implica $x=y$. Por lo tanto $f$ es inyectiva, por lo que debe ser monótona. Gracias a @JonathanY. para esta observación.
Supongamos que $f$ es monótonamente creciente, y supongamos que hay algunos $x$ tal que $f(x)\neq x$. Si $f(x)>x$ $f^n(x)>x$ todos los $n$. Del mismo modo, si $f(x)<x$ $f^n(x)<x$ todos los $x$. Por lo tanto debemos tener $f(x)=x$ todos los $x$.
Por otro lado, si $f$ es monótonamente decreciente, a continuación, $f^2$ es monótonamente creciente, por lo que debemos tener $f(f(x))=x$ todos los $x$. Hay muchas de esas funciones, pero todos ellos tienen esta forma: tome $0<\omega<1$ y cualquier disminución de homeomorphism $g:[0,\omega]\to[\omega,1]$ y definir (con evidentes notation) $f=g\cup g^{-1}$.
EDIT: Cada una de dichas $f$ es "homeomorphically conjugado de" a $1-x$, en el sentido de que no existe un homeomorphism $h:[0,1]\to[0,1]$ tal que $hfh^{-1}(x)=1-x$. Uno de esos $h$ es $$ h(x) = \begin{cases} \frac{x}{2\omega} & \text{if %#%#%,}\\ 1 - \frac{f(x)}{2\omega} & \text{if %#%#%.} \end{casos} $$ De hecho, a continuación,$x\leq\omega$. Gracias a @GerryMyerson para esta observación.
[Viejo Baire argumento, hoy desaparecida: Ahora, para su primera pregunta. Deje $x\geq\omega$ ser el conjunto de todos los $h(f(x))=1-h(x)$ para el cual no existe un entero $X$ y un abierto de vecindad $x\in[0,1]$ $n$ tal que $U$ todos los $x$. Claramente $f^n(y)=y$ es cerrado, por lo que es un espacio métrico completo. Deje $y\in U$ ser el conjunto de todos los $X$ tal que $E_n$. A continuación, cada una de las $x\in X$ es cerrado en $f^n(x)=x$, e $E_n$. Si $X$, la categoría de Baire teorema implica que algunos $X=\bigcup_{n=1}^\infty E_n$ ha vacío interior, que conduce directamente a una contradicción. Por lo tanto $X\neq\emptyset$, y por tanto, por la compacidad de $E_n$ no debe existir $X=\emptyset$ tal que $[0,1]$ todos los $N$.]
